Решение линейного уравнения

Для 3x3 система линейных уравнений я предполагаю, что она должна была бы хорошо развернуть Ваши собственные алгоритмы.

Однако Вам, возможно, придется волноваться о точности, делении на нуль или действительно небольших числах и что сделать о бесконечно многих решениях. Мое предложение должно пойти со стандартным числовым пакетом линейной алгебры такой как LAPACK.

Вы можете решить это с помощью программы точно так же, как вы решаете ее вручную (с умножением и вычитанием, а затем возвращая результаты обратно в уравнения). Это довольно стандартная математика на уровне средней школы.

-44.3940 = 50a + 37b + c (A)
-45.3049 = 43a + 39b + c (B)
-44.9594 = 52a + 41b + c (C)

(A-B): 0.9109 =  7a -  2b (D)
(B-C): 0.3455 = -9a -  2b (E)

(D-E): 1.2564 = 16a (F)

(F/16):  a = 0.078525 (G)

Feed G into D:
       0.9109 = 7a - 2b
    => 0.9109 = 0.549675 - 2b (substitute a)
    => 0.361225 = -2b (subtract 0.549675 from both sides)
    => -0.1806125 = b (divide both sides by -2) (H)

Feed H/G into A:
       -44.3940 = 50a + 37b + c
    => -44.3940 = 3.92625 - 6.6826625 + c (substitute a/b)
    => -41.6375875 = c (subtract 3.92625 - 6.6826625 from both sides)

Итак, вы получите:

a =   0.0785250
b =  -0.1806125
c = -41.6375875

Если вы включите эти значения обратно в A, B и C, вы обнаружите, что они верны.

Хитрость заключается в том, чтобы использовать простую матрицу 4x3, которая, в свою очередь, сводится к матрице 3x2, а затем к 2x1, который равен «a = n», причем n является фактическим числом. Получив это, вы вводите его в следующую матрицу, чтобы получить другое значение, затем эти два значения в следующую матрицу, пока не решите все переменные.

Если у вас есть N различных уравнений, вы всегда можете решить для N переменных. Я говорю по-разному, потому что эти два не являются:

 7a + 2b =  50
14a + 4b = 100

Они представляют собой одно и то же уравнение , умноженное на два, поэтому вы не можете получить решение из них - умножение первого на два, а затем вычитание оставляет вас с истинным, но бесполезным утверждением:

0 = 0 + 0

В качестве примера, приведем код C, который вырабатывает уравнения одновременности, которые вы поставили в своем вопросе. Сначала некоторые необходимые типы, переменные, вспомогательная функция для распечатки уравнения и начало main:

#include <stdio.h>

typedef struct { double r, a, b, c; } tEquation;
tEquation equ1[] = {
    { -44.3940,  50, 37, 1 },      // -44.3940 = 50a + 37b + c (A)
    { -45.3049,  43, 39, 1 },      // -45.3049 = 43a + 39b + c (B)
    { -44.9594,  52, 41, 1 },      // -44.9594 = 52a + 41b + c (C)
};
tEquation equ2[2], equ3[1];

static void dumpEqu (char *desc, tEquation *e, char *post) {
    printf ("%10s: %12.8lf = %12.8lfa + %12.8lfb + %12.8lfc (%s)\n",
        desc, e->r, e->a, e->b, e->c, post);
}

int main (void) {
    double a, b, c;

Затем, приведение трех уравнений с тремя неизвестными к двум уравнениям с двумя неизвестными :

    // First step, populate equ2 based on removing c from equ.

    dumpEqu (">", &(equ1[0]), "A");
    dumpEqu (">", &(equ1[1]), "B");
    dumpEqu (">", &(equ1[2]), "C");
    puts ("");

    // A - B
    equ2[0].r = equ1[0].r * equ1[1].c - equ1[1].r * equ1[0].c;
    equ2[0].a = equ1[0].a * equ1[1].c - equ1[1].a * equ1[0].c;
    equ2[0].b = equ1[0].b * equ1[1].c - equ1[1].b * equ1[0].c;
    equ2[0].c = 0;

    // B - C
    equ2[1].r = equ1[1].r * equ1[2].c - equ1[2].r * equ1[1].c;
    equ2[1].a = equ1[1].a * equ1[2].c - equ1[2].a * equ1[1].c;
    equ2[1].b = equ1[1].b * equ1[2].c - equ1[2].b * equ1[1].c;
    equ2[1].c = 0;

    dumpEqu ("A-B", &(equ2[0]), "D");
    dumpEqu ("B-C", &(equ2[1]), "E");
    puts ("");

Далее, приведение двух уравнений с двумя неизвестными к одному уравнению с одним неизвестным:

    // Next step, populate equ3 based on removing b from equ2.

    // D - E
    equ3[0].r = equ2[0].r * equ2[1].b - equ2[1].r * equ2[0].b;
    equ3[0].a = equ2[0].a * equ2[1].b - equ2[1].a * equ2[0].b;
    equ3[0].b = 0;
    equ3[0].c = 0;

    dumpEqu ("D-E", &(equ3[0]), "F");
    puts ("");

Теперь, когда у нас есть формула типа number1 = unknown * number2, мы можем просто определить неизвестное значение с помощью unknown <- number1 / number2. Затем, как только вы вычислили это значение, подставьте его в одно из уравнений с двумя неизвестными и определите второе значение. Затем подставьте оба этих (теперь известных) неизвестных в одно из исходных уравнений, и теперь у вас есть значения для всех трех неизвестных:

    // Finally, substitute values back into equations.

    a = equ3[0].r / equ3[0].a;
    printf ("From (F    ), a = %12.8lf (G)\n", a);

    b = (equ2[0].r - equ2[0].a * a) / equ2[0].b;
    printf ("From (D,G  ), b = %12.8lf (H)\n", b);

    c = (equ1[0].r - equ1[0].a * a - equ1[0].b * b) / equ1[0].c;
    printf ("From (A,G,H), c = %12.8lf (I)\n", c);

    return 0;
}

Вывод этого кода соответствует более ранним вычислениям в этом ответе:

         >: -44.39400000 =  50.00000000a +  37.00000000b +   1.00000000c (A)
         >: -45.30490000 =  43.00000000a +  39.00000000b +   1.00000000c (B)
         >: -44.95940000 =  52.00000000a +  41.00000000b +   1.00000000c (C)

       A-B:   0.91090000 =   7.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (D)
       B-C:  -0.34550000 =  -9.00000000a +  -2.00000000b +   0.00000000c (E)

       D-E:  -2.51280000 = -32.00000000a +   0.00000000b +   0.00000000c (F)

From (F    ), a =   0.07852500 (G)
From (D,G  ), b =  -0.18061250 (H)
From (A,G,H), c = -41.63758750 (I)

Взгляните на Microsoft Solver Foundation .

С его помощью вы можете написать такой код:

  SolverContext context = SolverContext.GetContext();
  Model model = context.CreateModel();

  Decision a = new Decision(Domain.Real, "a");
  Decision b = new Decision(Domain.Real, "b");
  Decision c = new Decision(Domain.Real, "c");
  model.AddDecisions(a,b,c);
  model.AddConstraint("eqA", -44.3940 == 50*a + 37*b + c);
  model.AddConstraint("eqB", -45.3049 == 43*a + 39*b + c);
  model.AddConstraint("eqC", -44.9594 == 52*a + 41*b + c);
  Solution solution = context.Solve();
  string results = solution.GetReport().ToString();
  Console.WriteLine(results); 

Вот результат:
=== Отчет службы поддержки Solver ===
Дата и время: 20.04.2009 23:29:55
Название модели: по умолчанию
Запрошенные возможности: LP
Время решения (мс): 1027
Общее время (мс): 1414
Статус завершения решения: оптимальный
Выбранный решатель: Microsoft.SolverFoundation.Solvers.SimplexSolver
Директивы:
Microsoft.SolverFoundation.Services.Directive
Алгоритм: Первичный
Арифметика: Гибрид
Цены (точные): По умолчанию
Цены (двойные) : SteepestEdge
Основа: Slack
Pivot Count: 3
=== Детали решения ===
Цели:

Решения:
a: 0.0785250000000004
b: -0.180612500000001
c: -41.6375875

Вы ищете программный пакет, который будет выполнять работу или фактически выполнять матричные операции и тому подобное и выполнять каждый шаг?

Первый, мой коллега, только что использовавший Ocaml GLPK . Это просто оболочка для GLPK , но она устраняет многие этапы настройки. Похоже, что вам придется придерживаться GLPK, в C, хотя. Что касается последнего, то, благодаря восхитительному сохранению старой статьи, я некоторое время назад изучал LP, PDF . Если вам нужна конкретная помощь в настройке, дайте нам знать, и я уверен, что я или кто-то еще вернусь и помогу, но, думаю, отсюда довольно просто. Удачи!

Шаблон Числовой Инструментарий от NIST имеет инструменты для того, чтобы сделать это.

Один из более надежных путей состоит в том, чтобы использовать Разложение четверти .

Вот пример обертки так, чтобы я мог назвать "GetInverse (A, InvA)" в моем коде, и это поместит инверсию в InvA.

void GetInverse(const Array2D<double>& A, Array2D<double>& invA)
   {
   QR<double> qr(A);  
   invA = qr.solve(I); 
   }

Array2D определяется в библиотеке.

Судя по формулировке вашего вопроса, у вас больше уравнений, чем неизвестных, и вы хотите минимизировать несоответствия Обычно это делается с помощью линейной регрессии, которая минимизирует сумму квадратов несоответствий. В зависимости от размера данных вы можете сделать это в электронной таблице или в статистическом пакете. R - это высококачественный бесплатный пакет, который выполняет линейную регрессию и многое другое. Существует много линейной регрессии (и много ошибок), но, как это легко сделать для простых случаев. Вот пример R с использованием ваших данных. Обратите внимание, что «tx» - это перехват вашей модели.

> y <- c(-44.394, -45.3049, -44.9594)
> a <- c(50.0, 43.0, 52.0)
> b <- c(37.0, 39.0, 41.0)
> regression = lm(y ~ a + b)
> regression

Call:
lm(formula = y ~ a + b)

Coefficients:
(Intercept)            a            b  
  -41.63759      0.07852     -0.18061  

Что касается эффективности во время выполнения, другие ответили лучше, чем я. Если у вас всегда будет то же число уравнений, что и для переменных, мне нравится правило Крамера , поскольку его легко реализовать. Просто напишите функцию для вычисления определителя матрицы (или используйте уже написанную, я уверен, что вы можете найти ее там) и разделите определители двух матриц.

Лично, я неравнодушен к алгоритмам Числовые Рецепты . (Я люблю выпуск C++.)

Эта книга будет учить Вас, почему алгоритмы работают, плюс шоу Вы некоторые вполне прилично отладили реализации тех алгоритмов.

, Конечно, Вы могли просто вслепую использовать CLAPACK (я использовал его с большим успехом), но я был бы тип первой руки алгоритм Исключения Гаусса, чтобы, по крайней мере, иметь слабую идею вида работы, которая вошла в создание этих стабильных алгоритмов.

Позже при выполнении более интересной линейной алгебры, осматривая исходный код Октава ответит на большое количество вопросов.

function x = LinSolve(A,y)
%
% Recursive Solution of Linear System Ax=y
% matlab equivalent: x = A\y 
% x = n x 1
% A = n x n
% y = n x 1
% Uses stack space extensively. Not efficient.
% C allows recursion, so convert it into C. 
% ----------------------------------------------
n=length(y);
x=zeros(n,1);
if(n>1)
    x(1:n-1,1) = LinSolve( A(1:n-1,1:n-1) - (A(1:n-1,n)*A(n,1:n-1))./A(n,n) , ...
                           y(1:n-1,1) - A(1:n-1,n).*(y(n,1)/A(n,n))); 
    x(n,1) = (y(n,1) - A(n,1:n-1)*x(1:n-1,1))./A(n,n); 
else
    x = y(1,1) / A(1,1);
end