Как синхронизируемые статические методы работают в Java?

Обратиться к вопросу в более общем плане...

Имеют в виду, что использование синхронизировалось на методах, действительно просто стенография (предположите, что классом является SomeClass):

synchronized static void foo() {
    ...
}

совпадает с

static void foo() {
    synchronized(SomeClass.class) {
        ...
    }
}

, и

synchronized void foo() {
    ...
}

совпадает с

void foo() {
    synchronized(this) {
        ...
    }
}

, можно использовать любой объект в качестве блокировки. Если бы Вы хотите заблокировать подмножества статических методов, Вы можете

class SomeClass {
    private static final Object LOCK_1 = new Object() {};
    private static final Object LOCK_2 = new Object() {};
    static void foo() {
        synchronized(LOCK_1) {...}
    }
    static void fee() {
        synchronized(LOCK_1) {...}
    }
    static void fie() {
        synchronized(LOCK_2) {...}
    }
    static void fo() {
        synchronized(LOCK_2) {...}
    }
}

(для нестатических методов, Вы хотели бы заставить блокировки быть нестатическими полями)

Статические методы используют класс в качестве объекта для блокировки, которая является Utils.class для Вашего примера. Таким образом да, это в порядке.

Почему Вы хотите осуществить это, только единственный поток может получить доступ к DB в любой момент?

Это - задание драйвера базы данных для реализации любой необходимой блокировки, принятие Connection только используется одним потоком за один раз!

Наиболее вероятный, Ваша база данных совершенно способна к обработке нескольких, параллельный доступ

Если это относится к чему-то данные в Вашей базе данных, почему бы не использовать блокировку изоляции базы данных для достижения?

Для ответа на вопрос да, это делает: Ваш synchronized метод не может быть выполнен больше чем одним потоком за один раз.