Используя Подвижный локально, только с сервером Подверсии

Чтобы достичь того, что вы пытаетесь сделать, просто:

var name;
var nameFormat=true;
function submission() {
    name = document.getElementById("textbox").value;
    if (name.length > 0) {
        alert("Welcome "+name);
        $("#name").fadeOut(1000);
        $("#welcome").fadeOut(1000);
        $("#welcome2").fadeIn(1000);
        $("#welcome2-0").fadeIn(1000);        
    }
    else{
        nameFormat=false;
        alert("Please enter the name again");
    }
}

Поскольку вы появились в вашем коде fadeOut, я сделал свой ответ с этим. В противном случае вы можете заменить fadeIn на show.

Что касается вашего кода CSS, попробуйте установить display: none; для тех элементов, которые должны быть скрыты при загрузке страницы.

Для получения дополнительной информации смотрите:

http://api.jquery.com/show/