Вам нужно интегрировать eventListener в выпадающем списке, ожидая события изменения. Что-то вроде этого:
render() {
return(
<div>
<select onChange={this.handleChange}>
...
</select>
</div>
)
)}
handleChange(event){
const selectedItem = event.target.value;
// Change your state here:
this.setState({selection: selectedItem});
}