сформируйте число с помощью последовательных чисел

Мне нравится эта задача. Вот изящное и немного загадочное решение O (n):

void DisplaySum (int n, int a, int b)
{
  std::cout << n << " = ";
  for (int i = a; i < b; i++) std::cout << i << " + ";
  std::cout << b;
}

void WriteAsSums (int n)
{
  N = 2*n;

  for (int i = 1; i < N; i++)
  {
    if (~(N%i))
    {
      int j = N/i;
      if (j+i%2)
      {
        int a = (j+i-1)/2;
        int b = (j-i+1)/2;
        if (a>0 & a<b) // exclude trivial & negative solutions
          DisplaySum(n,a,b);
      }
    }
  }
}

Вот кое-что в Groovy, вы должны понять, что продолжается. Это не самый эффективный код, и он не дает ответов в том порядке, в котором вы указываете в своем вопросе (хотя некоторые из них вам, похоже, не хватает), но он может дать вам начало.

def f(a,b) {

  for (i in a..b) {

    for (j in 1..i/2) {

      def (sum, str, k) = [ 0, "", j ]

      while (sum < i) {
        sum += k
        str += "+$k"
        k++
      }

      if (sum == i) println "$i=${str[1..-1]}"
     }
  }
}

Вывод для f (3,21) :

3=1+2
5=2+3
6=1+2+3
7=3+4
9=2+3+4
9=4+5
10=1+2+3+4
11=5+6
12=3+4+5
13=6+7
14=2+3+4+5
15=1+2+3+4+5
15=4+5+6
15=7+8
17=8+9
18=3+4+5+6
18=5+6+7
19=9+10
20=2+3+4+5+6
21=1+2+3+4+5+6
21=6+7+8
21=10+11

Надеюсь, это поможет. Это как бы соответствует принципу делать простейшие вещи, которые только могут сработать.

Вот псевдокод для поиска всех комбинаций, если таковые существуют:

function consecutive_numbers(n, m)
    list = [] // empty list
    list.push_back(m)
    while m != n
        if m > n
            first = list.remove_first
            m -= first
        else
            last = list.last_element
            if last <= 1
                return [] 
            end
            list.push_back(last - 1) 
            m += last - 1
        end
    end
    return list
end

function all_consecutive_numbers(n)
    m = n / 2 + 1
    a = consecutive_numbers(n, m)
    while a != []
        print_combination(n, a)
        m = a.first - 1
        a = consecutive_numbers(n, m)
    end
end

function print_combination(n, a)
    print(n + " = ")
    print(a.remove_first)
    foreach element in a
        print(" + " + element)
    end
    print("\n")
end

Вызов all_consecutive_numbers(21) выведет:

21 = 11 + 10
21 = 8 + 7 + 6
21 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1

Я протестировал это в ruby (код здесь) и, кажется, это работает. Я уверен, что основная идея может быть легко реализована и на C#.

если мы разбиваем a на 2 разряда, то a = b + (b+1) = 2*b + (0+1)
если разделить a на 3 цифры, то a = b + (b+1) + (b+2) = 3*b + (0+1+2)
...
если разделить a на n цифр, то a = b + (b+1) +...+ (b+n) = nb + (0+1+n-1)
последний результат - a = nb + n*(n-1)/2, a,b,n - все инты.
поэтому алгоритм O(N):

void seq_sum(int a)
{
// start from 2 digits
   int n=2;
   while(1)
   {
      int value = a-n*(n-1)/2;
      if(value < 0)
         break;
// meet the quotation we deduct
      if( value%n == 0 )
      {
           int b=value/n;
// omit the print stage
           print("......");
      }
      n++;
   }
}