Проблема заключается в chrome.storage.sync.set({key: testPrefs}

Ваши данные хранятся как

{
    key: "{"val":10}"
}

Итак, ваш код chrome.storage.sync.get('myKey') возвращает неопределенный \nустой объект.

Решение I

Использовать строку "key" в качестве вашей клавиши

chrome.storage.sync.get("key", function (obj) {
    console.log(obj);
});

или

Решение II

Установить данные через "myKey".

chrome.storage.sync.set({"myKey": testPrefs}

PS: Не забывайте, что chrome.storage.sync - это постоянный API хранения, используйте chrome.storage.sync.clear перед любым дальнейшим тестированием, чтобы увидеть изменения

Ссылки

• Хранение API

EDIT 1

Используйте этот код для установки значения переменной в Chrome.storage

function storeUserPrefs() {
    var key = "myKey",
        testPrefs = JSON.stringify({
            'val': 10
        });
    var jsonfile = {};
    jsonfile[key] = testPrefs;
    chrome.storage.sync.set(jsonfile, function () {
        console.log('Saved', key, testPrefs);
    });

}

Он генерирует следующий вывод

Object{
    myKey: "{"val":10}"
}