Хитрость заключается в том, чтобы запустить F4 KeyboardEvent на входном элементе:
function openPicker(inputDateElem) {
var ev = document.createEvent('KeyboardEvent');
ev.initKeyboardEvent('keydown', true, true, document.defaultView, 'F4', 0);
inputDateElem.dispatchEvent(ev);
}
var cal = document.querySelector('#cal');
cal.focus();
openPicker(cal);
здесь jsfiddle: http://jsfiddle.net/v2d0vzrr/
Кстати, есть интересная ошибка в хроме. Если вы откроете jsfiddle на отдельной вкладке, всплывающее окно календаря будет отображаться на текущей вкладке. Уже сообщили .