Переменные не работают

= совпадает с SET THIS TO THIS = не означает EQUAL TO. == и ===, но не =.

Так измените свой код на это:

function check1() {
      document.getElementById("ck").innerHTML = "Включить переливание фона 
    кликабельно";
      return false;
    }

    function check2() {
      document.getElementById("ck").innerHTML = "Отключить переливание фона 
    кликабельно";
      return false;
    }

    function changeText() {
      var check = true;
      if (check == true) {
        check1();
        check = false;
        console.log("Successfully check = false");
      }
      else {
        check2();
        check = true;
        console.log("Successfully check = true");
      }
    }