Приложение падает, когда я конвертирую строку в int

Как и в определении конструктора, которое правильно в вашем примере, каждому (внешнему) методу определения требуется префикс имени класса перед именем метода, которое находится в вашем случае Appointment::.

Другим вариантом будет определение метода inline, который выглядит так:

class Appointment
{
    public:
// ...
    virtual bool occurs_on(int month, int day, int year){
        if (date.getMonth()== month && date.getYear()= year && date.getDay()==day)
            day= minute; // preparing a next question? ;)
            return true; // indentation error or even worse?
    }
    private:
    int hour, minute;
// ...
    Date date;
};

Определение методов inline может быть полезно для локальных классов, но часто это приводит к плохому стилю.