Вы можете использовать мою библиотеку https://github.com/lawlietmester/webextension , чтобы сделать эту работу как в Chrome, так и в FF с помощью Firefox без обратных вызовов.
Ваш код будет выглядеть так:
Browser.runtime.onMessage.addListener( request => new Promise( resolve => {
if( !request || typeof request !== 'object' || request.type !== "getUrls" ) return;
$.ajax({
'url': "http://localhost:3000/urls",
'method': 'GET'
}).then( urls => { resolve({ urls }); });
}) );