Изменчивые строки в Python

На самом деле ваше выражение files+=( "$input" ) добавляет элементы в ваш массив, но вы не итерируете его правильно.

Ваш последний цикл должен быть:

for f in "${files[@]}"; do
    echo "element is: $f"
done

Тест (благодаря @fedorqui)

$ a+=(1)
$ a+=("hello")
$ a+=(3)
$ for i in "${a[@]}"; do echo "$i"; done
1
hello
3