Как я могу установить значение DropDownList с помощью jQuery?

class Y extends X {
  constructor(name) {
    super(name);
  }

  set name(name) {
    super.name = name;
    this._name += "Y";
  }
}

правильно заменит name с помощью аксессора для только сеттера, без геттера. Это означает, что ваш y.name === "hiXY" не сработает, потому что y.name вернет undefined, потому что для name нет геттера. Вам нужно:

class Y extends X {
  constructor(name) {
    super(name);
  }

  get name(){
    return super.name;
  }

  set name(name) {
    super.name = name;
    this._name += "Y";
  }
}