Как я могу получить аутентифицируемое имя пользователя под Apache с помощью простой Аутентификации HTTP и PHP?

Что вы делали, это

В вашем адаптере

public CarListAdapter(Context context , ArrayList<CarDetail> items) {

    this.context = context;
    this.items = items;

}

в вашем фрагменте

adapter = new CarListAdapter(getActivity(),ServiceCarListFragment.this.carDetailList);

Надеюсь, вы будете использовать FragmentActivity

Вам нужно позвонить

adapter = new CarListAdapter(YOUR_ACTIVITY_CONTEXT, carDetailList);

, где YOUR_ACTIVITY_CONTEXT будет вашим FragmentActivity