перестановка и интервью комбинаций
4 ответа
Позвольте А быть событием, что 2/3 шаров являются красными, и затем В¬ , А является событием, что 2/3 шаров являются белыми. Позвольте B быть событием, что первый наблюдатель видит 4 красных шара из 5, и позвольте C быть событием, что второй наблюдатель видит 12 красных шаров из 20.
Применение некоторой простой комбинаторики, мы получаем это
- P ( B | , А ) = (5 выбирают 4) (2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 = 80/243
- P ( B|В¬ , А ) = (5 выбирают 4) (1/3) <глоток> 4 (2/3) <глоток> 1 = 10/243
Поэтому из Закона Bayes, у наблюдателя 1 есть доверительный уровень 80 / (80+10) = 8/9, что А верен.
Для второго наблюдателя:
- P ( C | А ) = (20 выбирают 12) (2/3) <глоток> 12 (1/3) <глоток> 8 = 125970 * 2 <глоток> 12 /3 <глоток> 20
- P ( C|В¬ А ) = (20 выбирают 12) (1/3) <глоток> 12 (2/3) <глоток> 8 = 125970 * 2 <глоток> 8 /3 <глоток> 20
Поэтому снова из Закона Bayes, у наблюдателя 2 есть доверительный уровень 2 <глоток> 12 / (2 <глоток> 12 + 2 <глоток> 8 ) = 16/17, что А верен.
Поэтому у наблюдателя два есть более высокий доверительный уровень, что 2/3 шаров являются красными. Ключ должен понять, как Закон Bayes работает. На самом деле все, что имеет значение, различие в количестве красных и белых наблюдаемых шаров. Все остальное (конкретно общее количество оттянутых шаров) уравновешивается в уравнениях.
Eliezer Yudkowsky имеет (действительно, действительно долго, но хороший) объяснение теоремы Байеса . Приблизительно 70% вниз, существует абзац, начинающийся "Перед Вами, bookbag", который объясняет ядро этой проблемы.
кульминационный пункт - то, что все, что имеет значение, различие между тем, сколько красных и белых шаров было оттянуто. Таким образом, обратное к тому, что говорили другие, Вы не должны делать никакой вычисления. (Это делает любое из разумных предположений (a) что шары оттянуты с заменой , или (b) урна имеют партия из шаров. Затем количество шаров не имеет значения.) Вот аргумент:
теорема Байеса Отзыва: P (A|B) = P (B|A) * P (A) / P (B). (Примечание по терминологии: P (A) предшествующий , и P (A|B) следующий . B является некоторым наблюдением, которое Вы сделали, и терминология отражает Вашу уверенность прежде и после Ваше наблюдение.) Эта форма теоремы прекрасна, и @bobince, и @Adam Розенфилд правильно применил его. Однако использование этой формы непосредственно делает Вас восприимчивыми к арифметическим ошибкам, и это действительно не передает основа из теоремы Байеса. Adam упомянул в своем сообщении (и я упоминаю выше), что все, что имеет значение, является различием между тем, сколько красных и белых шаров было оттянуто, потому что "все остальное уравновешивается в уравнениях". Как мы можем видеть это, не делая никаких вычислений?
Мы можем использовать понятие [1 116] отношение разногласий и отношение правдоподобия . Что такое отношение разногласий? Ну, вместо того, чтобы думать о P (A) и P (В¬A), мы будем думать об их отношении P (A): P (В¬A). Любой является восстанавливаемым от другого, но арифметика удается более любезный с отношениями разногласий, потому что мы не должны нормализовать. Кроме того, легче "получить" теорему Байеса в своей альтернативной форме.
, Что я подразумеваю, что мы не должны нормализовать, и какова альтернативная форма? Ну, давайте вычислим. Теорема Байеса говорит, что следующие разногласия
P (A|B): P (В¬A|B) = (P (B|A) * P (A) / P (B)): (P (B|В¬A) * P (В¬A) / P (B)).
P (B) является фактором нормализации для создания суммы вероятностей одной; однако, мы работаем с отношениями, где 2: 1 и 4: 2 разногласия являются тем же самым, таким образом, P (B) отмены. Нас оставляют с легким выражением, которое, оказывается, учитывает:
P (A|B): P (В¬A|B) = (P (B|A) * P (A)): (P (B|В¬A) * P (В¬A)) = (P (B|A): P (B|В¬A)) * (P (A): P (В¬A))
Мы уже услышали о втором сроке там; это - предшествующее отношение разногласий. Что является P (B|A): P (B|В¬A)? Это звонило отношение правдоподобия . Таким образом, наше заключительное выражение
следующие разногласия = отношение правдоподобия * предшествующие разногласия.
, Как мы применяем его в этой ситуации? Ну, предположите, что у нас есть некоторые предшествующие разногласия x: y для содержания урны, с x, представляющим 2/3rds красный и y, представляющий 2/3rds белый. Предположим, что мы тянем единственный красный шар. Отношение правдоподобия является P (потянул красный шар |, урна является 2/3rds красным): P (потянул красный шар |, урна является 2/3rds белым), = (2/3): (1/3) = 2: 1. Таким образом, следующие разногласия 2x: y; мы потянули белый шар, следующие разногласия были бы x: год 2 подобным обоснованием. Теперь мы делаем это для каждого шара в последовательности ; если ничьи независимы, то мы просто умножаем все отношения разногласий. Таким образом, мы получаем это, если мы запускаем с отношения разногласий x: y и тянут r красные шары и w белые шары, мы получаем заключительное отношение разногласий [1 139]
(x: y) * (2: 1) ^r * (1: 2) ^w = (x * 2^r): (y * 2^w) = (x: y) * (2^ (r-w): 1).
, таким образом, мы видим, что все, что имеет значение, является различием между r и w. Это также позволяет нам легко решить проблему. Для первого вопроса ("кто должен быть более уверен?"), предшествующие разногласия не имеют значения, пока они не 1: 0 или 0: у 1 и обоих человек есть идентичное уголовное прошлое. Действительно, если их идентичным предшествующим был x: y, первый следующий человек был бы (2^3 * x): y, в то время как второй следующий человек был бы (2^4 * x): y, таким образом, второй человек более уверен.
предположим, кроме того, что предшествующие разногласия были универсальны, который равняется 1: 1. Затем первый следующий человек был бы 8: 1, в то время как второй человек был бы 16: 1. Мы можем легко перевести их в вероятности 8/9 и 16/17, подтвердив другие вычисления.
точка здесь - то, что, если Вы добираетесь полужирное уравнение выше, затем эта проблема действительно легка . Но как значительно , можно быть уверены, что Вы не испортили арифметики, потому что необходимо сделать так мало.
, Таким образом, это - плохой вопрос о программировании, но это хороший тест полужирного уравнения. Только для практики, давайте применим его к еще двум проблемам:
я случайным образом выбираю одну из двух монет, справедливой монеты или фальшивки, двуглавой монеты, каждого с 50%-й вероятностью. Я зеркально отражаю его три раза, и это подходит, направляется все три раза. Какова вероятность, это - реальная монета?
предшествующие разногласия реальны: фальсифицируйте = 1: 1, как указано в проблеме. Вероятность, что я видел бы три головы с реальной монетой, равняется 1 / 8, но это 1 с поддельной монетой, таким образом, отношение правдоподобия равняется 1: 8. Таким образом, следующие разногласия = предшествующие * вероятность = 1: 8. Таким образом вероятность, это - реальная монета, равняется 1 / 9.
Эта проблема также поднимает важный протест: существует возможно отличающиеся отношение правдоподобия для каждого возможного наблюдения. Это вызвано тем, что отношение правдоподобия для B является P (B|A): P (B|В¬A), который не обязательно связан с отношением правдоподобия для В¬B, который является P (В¬B|A): P (В¬B|В¬A). К сожалению, во всех примерах выше, они были инверсиями друг друга, но здесь, они не.
Действительно, предположите, что я бросаю монетку однажды и получаю хвосты. Какова вероятность, это - реальная монета? Очевидно, один. Как теорема Байеса проверяет? Ну, отношение правдоподобия для этого наблюдения является вероятностью наблюдения этого результата с реальной монетой по сравнению с поддельной монетой, которая является 1/2: 0 = 1: 0. Таким образом, при наблюдении единственный хвосты уничтожают вероятность того, что монета была фальшивкой, которая проверяет с нашей интуицией.
Вот проблема, которую я упомянул от страницы Eliezer:
Перед Вами bookbag, содержащий 1 000 покерных фишек. Я начал с двумя такими bookbags, один содержащий 700 красных и 300 голубых фишек, другой содержащий 300 красных и 700 синих. Я бросил справедливую монетку для определения, какой bookbag использовать, таким образом, априорная вероятность, что bookbag перед Вами является красным bookbag, составляет 50%. Теперь, Вы выбираете случайным образом с заменой после каждой микросхемы. В 12 образцах Вы получаете 8 красных и 4 блюза. Какова вероятность, что это - преимущественно красная сумка? (Вы не должны быть точными - грубая оценка достаточно хороша.)
предшествующие разногласия являются красными: синий = 1: 1. Отношения правдоподобия равняются 7: 3 и 3: 7, таким образом, следующие разногласия (7: 3) ^8 * (3: 7) ^4 = 7^4: 3^4. В этой точке мы просто оцениваем 7: 3 как, скажем, 2: 1, и добираются 2^4: 1 = 16: 1. Наш окончательный ответ еще больше, таким образом, это определенно больше, чем приблизительно 95%; правильный ответ составляет приблизительно 96,7%. Сравните это с ответами большинства людей, которые находятся в 70 - 80%-й диапазон.
я надеюсь, что Вы соглашаетесь, что проблемы становятся действительно легко, и интуитивными , когда рассматриваемый таким образом.
P [2/3R 1/3W | 4R, 1 Вт] = (2/3) ^4 * (1/3) ^1 * (1/2) / {(2/3) ^4 * (1/3) ^1 * (1/2) + (1/3) ^4 * (2/3) ^1 * (1/2)} = 2^4 / (2^4 + 1) = 16/17
er,
= ⅔^4*⅓ / (⅔^4*⅓ + ⅓^4*⅔)
= 16/243 / (16/243 + 2/243)
= 16/18
P (в …” Rв … “W | 12R8 Вт) делает действительно однако = 16/17, таким образом, 12R8 Вт могут быть более уверены.
Я предполагаю, что 'априорная' вероятность одной гипотезы по сравнению с другим является 1/2, и кроме того что оба, люди повторно вставляют каждый шар после извлечения его (извлечения независимы друг от друга).
корректный ответ - то, что второй наблюдатель должен быть более уверен, чем первое. Мой предыдущий ответ происходил неправильно из-за тривиальной ошибки в вычислениях, большое спасибо и +1 Adam Rosenfield для его исправления.
Позволяют , 2/3R 1/3W обозначает, что событие "урна содержит 2/3 красных шаров и 1/3 белых шаров", и позвольте 4R, 1 Вт обозначает событие "4 красных шара, и 1 белый шар извлечен". Затем с помощью правила Bayes,
P [ 2/3R 1/3W | 4R, 1 Вт ] = P [ 4R, 1 Вт | 2/3R 1/3W] P [ 2/3R 1/3W] / P [ 4R, 1 Вт ] = (2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 (1/2) / P [ 4R, 1 Вт ]
Теперь, с тех пор 2/3R 1/3W и 1/3R 2/3W дополнителен гипотезой,
P [ 4R, 1 Вт ] = P [ 4R, 1 Вт | 2/3R 1/3W] P [ 2/3R 1/3W] + P [ 4R, 1 Вт | 1/3R 2/3W] P [ 1/3R 2/3W] = (2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 (1/2) + (1/3) <глоток> 4 (2/3) <глоток> 1 (1/2)
Таким образом,
P [ 2/3R 1/3W | 4R, 1 Вт ] = (2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 (1/2) / {(2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 (1/2) + (1/3) <глоток> 4 (2/3) <глоток> 1 (1/2)} = 2^4 / (2^4 + 2) = 8/9
то же вычисление для P [ 2/3R 1/3W | 12R, 8 Вт ] (т.е. имеющий (2/3) <глоток> 12 (1/3) <глоток> 8 вместо (2/3) <глоток> 4 (1/3) <глоток> 1 ) уступают теперь 16/17, следовательно уверенность второго наблюдателя больше, чем тот из первых.