Как скопировать текст программно в моем приложении для Android?

Используйте ClipboardManager#setPrimaryClip метод:

import android.content.ClipboardManager;

// ...

ClipboardManager clipboard = (ClipboardManager) getSystemService(CLIPBOARD_SERVICE); 
ClipData clip = ClipData.newPlainText("label", "Text to copy");
clipboard.setPrimaryClip(clip);

ClipboardManager ссылка API