Как экспоненты вычисляются?

Можно использовать exp (n*ln (x)) для вычисления ^xn. И x и n могут быть двойной точностью, числами с плавающей точкой. Функция натурального логарифма и показательная функция могут быть вычислены с помощью Ряда Тейлора. Здесь можно найти формулы: http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Обычный подход, для повышения до b, для целочисленной экспоненты, проходит примерно так:

result = 1
while b > 0
  if b is odd
    result *= a
    b -= 1
  b /= 2
  a = a * a

Это обычно логарифмически в размере экспоненты. Алгоритм основан на инварианте "a^b*result = a0^b0", где a0 и b0 являются начальными значениями a и b.

Для отрицательного или экспонент нецелого числа, необходимы логарифмы и приближения и числовой анализ. Время выполнения будет зависеть от используемого алгоритма и для какой точности библиотека настраивается.

Править: С тех пор, кажется, существует некоторый интерес, вот версия без дополнительного умножения.

result = 1
while b > 0
  while b is even
    a = a * a
    b = b / 2
  result = result * a
  b = b - 1

Если бы я писал функции головы предназначение для Intel, то я возвратил бы exp2 (log2 (x) * y). Микрокод Intel для log2, конечно, быстрее, чем что-нибудь, что я смог бы кодировать, даже если я мог бы помнить свое первое исчисление года и аспирантуру числовой анализ.

Если они не обнаружили лучший способ сделать это, я полагаю, что приближенные значения для аккуратных, логарифмических и показательных функций (для экспоненциального роста и затухания, например) обычно вычисляются с помощью арифметических правил и расширений Ряда Тейлора для приведения к приблизительному результату с точностью до в требуемой точности. (См. любую книгу Исчисления для получения дополнительной информации о степенном ряде, Ряде Тейлора и расширениях серии Maclaurin функций.) Обратите внимание на то, что это было некоторое время, так как я сделал любое из этого так, я не мог сказать Вам, например, точно как вычислить количество условий в ряду, который необходимо включать, гарантируют ошибку что достаточно маленький, чтобы быть незначительным в вычислении двойной точности.

Например, расширение серии Taylor/Maclaurin для e^x - это:

      +inf [ x^k ]           x^2    x^3      x^4        x^5
e^x = SUM  [ --- ] = 1 + x + --- + ----- + ------- + --------- + ....
      k=0  [  k! ]           2*1   3*2*1   4*3*2*1   5*4*3*2*1

При взятии всех условий (k от 0 до бесконечности), это расширение точно и завершено (никакая ошибка).

Однако, если Вы не берете все условия, идущие в бесконечность, но Вы останавливаетесь, после говорят, что 5 условий или 50 условий или что бы то ни было, Вы приводите к приблизительному результату, который отличается от фактического e^x значения функции остатком, который довольно легко вычислить.

Хорошие новости для экспоненциалов - то, что это сходится приятно, и условия его полиномиального расширения довольно легко кодировать многократно, таким образом, Вы могли бы (повторение, МОГ БЫ - помнить, это было некоторое время), даже не должен предварительно вычислять, сколько условий необходимо гарантировать, что ошибка является меньше, чем точность, потому что можно протестировать размер вклада при каждом повторении и остановиться, когда это становится достаточно близким к нулю. На практике я не знаю, жизнеспособна ли эта стратегия или не - я должен был бы попробовать ее. Существуют важные детали, о которых я давно забыл. Материал как: точность машины, ошибка машины и погрешность округления, и т.д.

Кроме того, обратите внимание на то, что если Вы не используете e^x, но Вы делаете рост/затухание с другой основой как 2^x или 10^x, приближающиеся изменения полиномиальной функции.