Действительно ли возможно преобразовать между объектами Сокета и TcpClient?

Свойство x в классе First также может быть записано как

private int _x;
public int x
{
    get { return _x; }
    set { _x = value; }
}

Внесены незначительные изменения в предоставленный вами код, надеюсь, это поможет

public class First
{
    public int x { get; set; }

    public Second second;
    public First()
    {
        x = 0;
        second = new Second(this);
    }    

    public void run()
    {
        second.change();
    }


}
public class Second
{
    private First _first;
    public Second(First first)
    {
        _first = first;
    }

    public void change()
    {
        _first.x = 2;
    }
}