Окно сообщения в Python

Просто передайте объект contentStyle с требуемым max-height (так же, как вы делаете с атрибутом style):

<Dialog
    contentStyle={{ maxHeight: "300px" }}
    header="Client Details"
    visible={this.state.visible}
    modal={true}
    onHide={() => this.setState({visible: false})}
    >
    {this.renderClientDialogContent()}
</Dialog>