Как я дразню сервер IMAP в Python, несмотря на экстремальную лень?

Синтаксис уникального правила: unique:table,column,except,idColumn. Поэтому я изменил для вас использование таблицы users. Если вы не хотите использовать таблицу пользователей, измените часть users за unique:

$validator = Validator::make($request->all(), [
            'name' => 'required',
            'email' => 'required|email|unique:users',
            'password' => 'required',
            'c_password' => 'required|same:password',
]);
if ($validator->fails())  {
    return response()->json(['error'=>$validator->errors()], 
        Response::HTTP_UNAUTHORIZED);
}

Для получения дополнительной информации об уникальном правиле см. Это: https://laravel.com /docs/5.7/validation#rule-unique