Вычисление количества комбинаций

Следующая процедура вычислит n-choose-k, используя рекурсивное определение и запоминание. Процедура чрезвычайно быстрая и точная:

inline unsigned long long n_choose_k(const unsigned long long& n,
                                     const unsigned long long& k)
{
   if (n  < k) return 0;
   if (0 == n) return 0;
   if (0 == k) return 1;
   if (n == k) return 1;
   if (1 == k) return n;       
   typedef unsigned long long value_type;
   value_type* table = new value_type[static_cast<std::size_t>(n * n)];
   std::fill_n(table,n * n,0);
   class n_choose_k_impl
   {
   public:

      n_choose_k_impl(value_type* table,const value_type& dimension)
      : table_(table),
        dimension_(dimension)
      {}

      inline value_type& lookup(const value_type& n, const value_type& k)
      {
         return table_[dimension_ * n + k];
      }

      inline value_type compute(const value_type& n, const value_type& k)
      {
         if ((0 == k) || (k == n))
            return 1;
         value_type v1 = lookup(n - 1,k - 1);
         if (0 == v1)
            v1 = lookup(n - 1,k - 1) = compute(n - 1,k - 1);
         value_type v2 = lookup(n - 1,k);
         if (0 == v2)
            v2 = lookup(n - 1,k) = compute(n - 1,k);
         return v1 + v2;
      }

      value_type* table_;
      value_type dimension_;
   };
   value_type result = n_choose_k_impl(table,n).compute(n,k);
   delete [] table;
   return result;
}

Ну, я должен ответить на свой вопрос. Я читал о треугольнике Паскаля и случайно заметил, что мы можем вычислить количество комбинаций с ним:

#include <iostream>
#include <boost/cstdint.hpp>

boost::uint64_t Combinations(unsigned int n, unsigned int r)
{
    if (r > n)
        return 0;

    /** We can use Pascal's triange to determine the amount
      * of combinations. To calculate a single line:
      *
      * v(r) = (n - r) / r
      *
      * Since the triangle is symmetrical, we only need to calculate
      * until r -column.
      */

    boost::uint64_t v = n--;

    for (unsigned int i = 2; i < r + 1; ++i, --n)
        v = v * n / i;

    return v;
}

int main()
{
    std::cout << Combinations(52, 5) << std::endl;
}

Используя грязный трюк с длинным двойником, можно получить ту же точность, что и Говард Хиннант (и, возможно, больше):

unsigned long long n_choose_k(int n, int k)
{
    long double f = n;
    for (int i = 1; i<k+1; i++)
        f /= i;
    for (int i=1; i<k; i++)
        f *= n - i;

    unsigned long long f_2 = std::round(f);

    return f_2;
}

Идея состоит в том, чтобы сначала разделить на k! а затем умножить на n (n-1) ... (n-k + 1). Аппроксимации через двойное число можно избежать путем инвертирования порядка цикла for.

Помните, что

n! / (п - г)! = n * (n - 1) * .. * (n - r + 1)

, поэтому он намного меньше n !. Итак, решение состоит в том, чтобы оценить n * (n - 1) * ... * (n - r + 1) вместо того, чтобы сначала вычислять n! и затем разделить его.

Конечно, все зависит от относительной величины n и r - если r относительно велико по сравнению с n, то оно все равно не поместится.

Однако сначала упростите формулу. Вы не хотите делать длинное деление.

Если вы хотите быть на 100% уверены, что переполнения не произойдет, пока окончательный результат находится в пределах числового предела, вы можете просуммировать Треугольник Паскаля строка за строкой:

for (int i=0; i<n; i++) {
    for (int j=0; j<=i; j++) {
        if (j == 0) current_row[j] = 1;
        else current_row[j] = prev_row[j] + prev_row[j-1];
    }
    prev_row = current_row; // assume they are vectors
}
// result is now in current_row[r-1]

Однако , этот алгоритм намного медленнее, чем алгоритм умножения. Так что, возможно, вы могли бы использовать умножение для генерации всех известных вам случаев, которые являются «безопасными», а затем использовать оттуда сложение. (.. или вы можете просто использовать библиотеку BigInt).