Если там доступен запрос $, тогда нет необходимости передавать дополнительную переменную $ image. Вы пытались
dd($request)
или print_r($request->toArray()); exit;
посмотреть, что находится в вашем запросе!
Вот быстрый пример подхода, который может работать:
HTML:
<ul id="products">
<li>Apple</li>
<li>Banana</li>
<li>Mango</li>
</ul>
<input id="filter" />
JS:
var $products = $('#products li');
$('#filter').keyup(function() {
var re = new RegExp($(this).val(), "i"); // "i" means it's case-insensitive
$products.show().filter(function() {
return !re.test($(this).text());
}).hide();
});
Это - простой подход и вероятно нуждалось бы в небольшом количестве тонкой настройки. Но это близко к тому, в чем Вы нуждаетесь.