Вам нужно будет сделать запрос HTTP «POST» (поскольку вы уже сказали, что запрос «GET» не работает.
Какой объект вы используете для выполнения этого запроса http, зависит от вашей среды (где Запустите ли вы свой код Javascript). ex: XMLHTTPRequest, если ваш JavaSscript запускается в браузере, WinHTTP, если он запускается на хосте сценариев Windows или MS Excel..etc..etc ..
Возможно, вам придется предоставить конкретный заголовок в вашем запросе http. Может быть, заголовок Cookie. Может быть, заголовок Referrer. Вы можете выяснить это, посмотрев, что отправляет обычный браузер (например: используйте Инструменты разработчика (F12) в вашем браузере)
SignTool использует CAPICOM, который является оберткой COM для API Crypto. Можно использовать любой. Если Вы идете с CAPICOM, можно проверить информацию здесь.
Вы не можете только написать сценарий своего пути вокруг этого? Запишите простой пакетный файл, который дает ему корректные аргументы и вход? Это по крайней мере, что мы делаем, когда мы видим эту проблему на сервере UNIX.