Вид C# Windows Form TreeView после LabelEdit

Вы не устанавливаете позицию, используя переданные данные. В вашем примере это глобальные xp и yp.

Вы также не передали user с данными при вызове emit, поэтому другие клиенты на самом деле понятия не имеют, какого пользователя следует переместить. Я бы также предложил добавить это в качестве поля в отправляемых вами данных.

socket.emit('move', {
        user: //THE VAR WHICH HOLDS THE SESSIONID FOR THIS USER
        xp: xp,
        yp: yp
    });

socket.on('move', function(data) {
    $('#user_' + data.user).animate({ left: data.xp + 'px', top: data.yp + 'px' }, 400 );
});