Как выполнить процедуру?

Если это возможно, вам определенно следует придерживаться подхода C и передавать данные в методы и потоки явно через аргументы. Код был бы более явным. Если это невозможно, вы можете использовать что-то вроде этого:

public SomeClass{
    public static ConcurrentDictionary<Thread, HttpContextData> HttpContextData 
        = new ConcurrentDictionary<Thread, HttpContextData>();
}

// class to hold HttpContext related data
class HttpContextData { ... }


// somewhere in Asp.Net app...
ThreadStart fireAndForgetFunc = () =>
{
    var data = SomeClass.HttpContextData.GetValueOrDefault(Thread.CurrentThread);
    // work with HttpContextData
};

fireAndForgetFunc += () => 
{  
    // adding a cleanup
    SomeClass.HttpContextData.TryRemove(Thread.CurrentThread, out HttpContextData data); 
};
Thread t = new Thread(fireAndForgetFunc);

var httpContextData = new HttpContextData() {};
SomeClass.HttpContextData.TryAdd(t, httpContextData);
t.Start();

Но вы должны иметь в виду:

1. этот код довольно хитрый и должен использоваться только как обходной путь
2. Очистка не будет выполняться, если поток прерывается или выдает исключение.
3. Доступ к HttpContextData возможен из более чем одного потока. В этом случае вам нужно знать о безопасности потоков.

Ответ на вопросы в комментарии

ConcurrentDictionary похож на обычный словарь, но он безопасен для потоков и может использоваться в многопоточной среде без каких-либо блокировок.

Да, словарь будет общим для всего приложения, но каждая запись в словаре будет связана с определенным thread с HttpContextData, назначенным ему во время обработки http-запроса где-то в коде asp.net.

Поскольку данные контекста перемещаются в отдельный объект, они будут вызывать изменения кода по всему дереву кода в функциях «Запустить и забыть».

он будет вызывать только изменения, как показано ниже. Изменяя это:

var data = HTTPContext.Current.GetSomeData();

на:

var data = _httpContextData.GetValueOrDefault(Thread.CurrentThread);