Как я получаю доступ к свойству объекта со строковой переменной, которая имеет название того свойства?

Вы можете просто написать метод расширения для DateTime

public static int GetQuarter(this DateTime date)
{
    if (date.Month >= 4 && date.Month <= 6)
        return 1;
    else if (date.Month >= 7 && date.Month <= 9)
        return 2;
    else if (date.Month >= 10 && date.Month <= 12)
        return 3;
    else 
        return 4;
}

и использовать его как

DateTime dt = DateTime.Now;
dt.GetQuarter();