Почему C представляет некоторые плавающие точки, но не другие с одинаковым количеством десятичных знаков [дубликат]

Например, число 61.0 имеет точное двоичное представление, потому что интегральная часть любого числа всегда точна. Но число 6.10 не является точным. Все, что я сделал, это перемещение десятичного места, и я внезапно перешел из Exactopia в Inexactville. Математически не должно быть внутренней разницы между двумя числами - они просто цифры.

Давайте немного отстранимся от деталей баз 10 и 2. Давайте спросим base b, какие числа имеют завершающие представления, а какие нет? Мгновенная мысль говорит нам, что число x имеет завершающее b -представление тогда и только тогда, когда существует целое число n такое, что x b^n является целым числом.

Итак, например , x = 11/500 имеет завершающее 10-представление, потому что мы можем выбрать n = 3, а затем x b^n = 22, целое число. Однако x = 1/3 этого не делает, потому что независимо от того, что n мы выбрали, мы не сможем избавиться от 3.

. Этот второй пример подсказывает нам думать о факторах, и мы можем видеть, что для любого рациональный x = p/q (предполагается, что он имеет наименьшие члены), мы можем ответить на вопрос, сравнив простые факторизации b и q. Если q имеет какие-либо простые множители не в простой факторизации b, мы никогда не сможем найти подходящий n, чтобы избавиться от этих факторов.

Таким образом, для базы 10 any p/q, где q имеет простые множители, отличные от 2 или 5, не будет иметь конечного представления.

Итак, теперь, возвращаясь к основаниям 10 и 2, мы видим, что любой рациональное с завершающим 10-представлением будет иметь вид p/q точно, когда q имеет только 2 s и 5 s в своей простой факторизации; и то же число будет иметь завершающее 2-представление, когда q имеет только 2 s в своей простой факторизации.

Но один из этих случаев является подмножеством другого! Всякий раз, когда

q имеет только 2 s в своей простой факторизации

, очевидно, также верно, что

q имеет только 2 s и 5 s в своей простой факторизации

или, по-другому, когда p/q имеет завершающий 2-представление, p/q имеет завершающее 10-представление. Однако обратное, однако, имеет место не - всякий раз, когда q имеет 5 в своей простой факторизации, он будет иметь завершающее 10-представление, но не является завершающим 2-представлением. Это пример 0.1, упомянутый другими ответами.

Итак, у нас есть ответ на ваш вопрос - потому что простые множители 2 являются подмножеством простых множителей 10, все 2-оканчивающиеся числа являются 10-конечными числами, но не наоборот. Это не примерно 61 против 6.1 - это около 10 против 2.

Как заключительная заметка, если какой-то причудой люди использовали (скажем) базу 17, но наши компьютеры использовали базу 5, ваша интуиция никогда бы не была приведена в действие в этом случае - no (ненулевые, нецелые) числа, которые прекратились в обоих случаях!

BCD - Двоично-кодированные десятичные - представления точны. Они не очень эффективны с точки зрения пространства, но это компромисс, который вы должны сделать для точности в этом случае.

(Примечание: я добавлю «b», чтобы указать здесь двоичные числа. Все остальные числа указаны в десятичной форме)

. Один из способов думать о вещах - это нечто вроде научной нотации. Мы привыкли видеть числа, выраженные в научной нотации, например, 6.022141 * 10 ^ 23. Числа с плавающей запятой хранятся внутри с использованием аналогичного формата - мантиссы и экспоненты, но с использованием полномочий два вместо десяти.

Ваш 61.0 можно переписать как 1.90625 * 2 ^ 5, или 1.11101b * 2 ^ 101b с мантиссой и экспонентами. Чтобы умножить это на десять и (переместить десятичную точку), мы можем сделать:

(1.90625 * 2 ^ 5) * (1.25 * 2 ^ 3) = (2.3828125 * 2 ^ 8) = (1.19140625) * 2 ^ 9)

или in с мантиссой и показателями в двоичном виде:

(1.11101b * 2 ^ 101b) * (1.01b * 2 ^ 11b) = (10.0110001b * 2 ^ 1000b) = (1.00110001b * 2 ^ 1001b)

Обратите внимание на то, что мы там сделали, чтобы умножить числа. Мы умножили мантиссы и добавили экспоненты. Затем, поскольку мантисса закончилась больше двух, мы нормализовали результат, нажимая экспонента. Это точно также, когда мы корректируем экспоненту после выполнения операции над числами в десятичной научной нотации. В каждом случае значения, с которыми мы работали, имели конечное представление в двоичном выражении, поэтому значения, выводимые основными операциями умножения и сложения, также приводили к значениям с конечным представлением.

Теперь рассмотрим, d разделите 61 на 10. Мы начнем с деления мантис, 1.90625 и 1.25. В десятичной форме это дает 1.525, хороший короткий номер. Но что это такое, если мы преобразуем его в двоичный? Мы сделаем это обычным способом - вычитаем наибольшую мощность из двух, когда это возможно, так же, как преобразование целочисленных десятичных знаков в двоичные, но мы будем использовать отрицательные силы двух:

1.525         - 1*2^0   --> 1
0.525         - 1*2^-1  --> 1
0.025         - 0*2^-2  --> 0
0.025         - 0*2^-3  --> 0
0.025         - 0*2^-4  --> 0
0.025         - 0*2^-5  --> 0
0.025         - 1*2^-6  --> 1
0.009375      - 1*2^-7  --> 1
0.0015625     - 0*2^-8  --> 0
0.0015625     - 0*2^-9  --> 0
0.0015625     - 1*2^-10 --> 1
0.0005859375  - 1*2^-11 --> 1
0.00009765625...

Uh oh , Теперь у нас проблемы. Оказывается, что 1.90625 / 1.25 = 1.525, представляет собой повторяющуюся фракцию, выраженную в двоичном выражении: 1.11101b / 1.01b = 1.10000110011 ... b Наши машины имеют только так много бит, чтобы удерживать эту мантиссу, и поэтому они будут округлять фракцию и принять нули за пределами определенной точки. Ошибка, которую вы видите при разделении 61 на 10, представляет собой разницу между:

1.100001100110011001100110011001100110011 ... b * 2 ^ 10b и, скажем, 1.100001100110011001100110b * 2 ^ 10b

Это округление мантиссы, что приводит к потере точности, которую мы связываем со значениями с плавающей запятой. Даже когда мантисса может быть точно выражена (например, при простом добавлении двух чисел), мы все равно можем получить числовые потери, если мантиссе нужно слишком много цифр, чтобы соответствовать после нормализации экспоненты.

Мы действительно делаем этот вид все время, когда мы округливаем десятичные числа до управляемого размера и просто даем первые несколько цифр. Поскольку мы выражаем результат в десятичном значении, он чувствует себя естественным. Но если бы мы округлили десятичное число, а затем преобразовали его в другую базу, это выглядело бы столь же уродливым, как десятичные числа, которые мы получаем из-за округления с плавающей запятой.

Если вы сделаете достаточно большое число с плавающей запятой (так как это может сделать экспоненты), вы также получите неточность перед десятичной точкой. Поэтому я не думаю, что ваш вопрос полностью оправдан, потому что предпосылка неверна; это не тот случай, когда смещение на 10 всегда будет создавать большую точность, потому что в какой-то момент число с плавающей запятой должно будет использовать экспоненты, чтобы представить масштабность числа, и также потеряет некоторую точность.

Проблема в том, что вы действительно не знаете, действительно ли число действительно равно 61.0. Рассмотрим это:

float a = 60;
float b = 0.1;
float c = a + b * 10;

Каково значение c? Это не точно 61, потому что b не действительно .1, потому что .1 не имеет точного двоичного представления.

По той же причине вы не можете точно представлять 1/3 в базе 10, вам нужно сказать 0.33333 (3). В двоичном виде это тот же тип проблемы, но просто встречается для разных наборов чисел.

Причиной неточности является характер числовых баз. В базе 10 вы не можете точно представлять 1/3. Это становится 0.333 ... Однако в основании 3 1/3 точно представлено 0,1, а 1/2 - бесконечно повторяющееся десятичное (тризимальное?). Значения, которые могут быть окончательно представлены, зависят от числа уникальных простых факторов основания, поэтому основание 30 [2 * 3 * 5] может представлять больше фракций, чем основание 2 или основание 10. Еще больше для основания 210 [2 * 3 * 5 * 7].

Это отдельная проблема из «ошибки с плавающей запятой». Неточность заключается в том, что несколько миллиардов значений распространяются в гораздо большем диапазоне. Поэтому, если у вас есть 23 бит для значения, вы можете представить только около 8,3 миллионов различных значений. Затем 8-разрядный показатель предоставляет 256 опций для распределения этих значений. Эта схема позволяет получить наиболее точные десятичные числа вблизи 0, поэтому вы можете почти представить 0,1.