ОБНОВЛЕНИЕ

Реализацию этого ответа на Python вместе с примером использования можно найти в этом репозитории github.

Получается аналитическое решение на самом деле довольно хорошо использовать этот метод и может сказать вам, когда решение существует, а когда нет (также возможно иметь ровно одно решение.) Нет причин использовать метод Ньютона.

ИМХО, это далеко проще для понимания и проще, чем приведенная ниже трилатерация. Однако в моем тестировании оба метода дают правильные ответы.

ОРИГИНАЛЬНЫЙ ОТВЕТ

Рассмотрим пересечение двух сфер. Чтобы визуализировать это, рассмотрим трехмерный отрезок N, соединяющий два центра сфер. Рассмотрим это поперечное сечение

_{(источник: googlepages. com )}

где красная линия - это поперечное сечение плоскости с нормалью N. Благодаря симметрии вы можете вращать это поперечное сечение под любым углом, и длина отрезков красной линии не может изменяться. Это означает, что полученная кривая пересечения двух сфер представляет собой окружность и должна лежать в плоскости с нормалью N.

При этом давайте перейдем к поиску пересечения. Во-первых, мы хотим описать получившийся круг пересечения двух сфер. Вы не можете сделать это с помощью 1 уравнения, круг в 3D, по сути, является кривой в 3D, и вы не можете описать кривые в 3D с помощью 1 уравнения.

Рассмотрим рисунок и должен лежать в плоскости с нормалью N.

При этом давайте перейдем к поиску пересечения. Сначала мы хотим описать получившийся круг пересечения двух сфер. Вы не можете сделать это с помощью 1 уравнения, круг в 3D, по сути, является кривой в 3D, и вы не можете описать кривые в 3D с помощью 1 уравнения.

Рассмотрим рисунок и должен лежать в плоскости с нормалью N.

При этом давайте перейдем к поиску пересечения. Сначала мы хотим описать получившийся круг пересечения двух сфер. Вы не можете сделать это с помощью 1 уравнения, круг в 3D, по сути, является кривой в 3D, и вы не можете описать кривые в 3D с помощью 1 уравнения.

Рассмотрим рисунок
_{(источник: googlepages.com )}

пусть P будет точкой пересечения синей и красной линий. Пусть h - длина отрезка красной линии от точки P вверх. Обозначим расстояние между двумя центрами через d. Пусть x будет расстоянием от центра малого круга до P. Тогда у нас должно быть

x^2 +h^2 = r1^2
(d-x)^2 +h^2 = r2^2
==> h = sqrt(r1^2 - 1/d^2*(r1^2-r2^2+d^2)^2)

, то есть вы можете найти h, который является радиусом круга пересечения. Вы можете найти центральную точку C окружности от x, вдоль линии N, которая соединяет 2 центра окружности.

Затем вы можете полностью описать окружность как (X, C, U, V - все векторы)

X = C + (h * cos t) U + (h * sin t) V for t in [0,2*PI)

где U и V - перпендикулярные векторы, лежащие в плоскости с нормалью N.

Последняя часть самая простая. Осталось только найти пересечение этой окружности с конечной сферой. Это просто набор уравнений (подставьте для x, y, z в последнем уравнении параметрические формы x, y, z для круга через t и решите для t.)

edit ---

Уравнение, которое вы получите, на самом деле довольно уродливое, вы будете иметь целый набор синусов и косинусов, равных чему-то. Чтобы решить эту проблему, вы можете сделать это двумя способами:

1. запишите косинусы и синусы в терминах экспонент, используя равенство

   e ^ (it) = cos t + i sin t

   , затем сгруппируйте все e ^ ( it), и вы должны получить квадратные уравнения для e ^ (it) которую вы можете решить для квадратной формулы, а затем решить для t. Это даст вам точное решение. Этот метод на самом деле скажет вам точно, существует ли решение, два существуют или одно существует в зависимости от того, сколько точек из квадратичного метода являются действительными.

2. используйте метод Ньютона для решения для t, этот метод не является точным, но его вычислительные намного проще для понимания, и в этом случае он будет работать очень хорошо.