Как добавить строку к строке [] массив? Нет никакой функции.Add

Используйте List из System.Collections.Generic

List<string> myCollection = new List<string>();

…

myCollection.Add(aString);

Или сокращенно (используя инициализатор коллекции):

List<string> myCollection = new List<string> {aString, bString}

Если вам действительно нужен массив в конце, используйте

myCollection.ToArray();

Возможно, вам лучше абстрагироваться от интерфейса, такого как IEnumerable, а затем просто вернуть коллекцию.

Изменить: если вы должны использовать массив, вы можете предварительно выделить его до нужного размера (т.е. FileInfo у вас есть). Затем, в цикле foreach, поддерживайте счетчик для индекса массива, который необходимо обновить следующим.

private string[] ColeccionDeCortes(string Path)
{
    DirectoryInfo X = new DirectoryInfo(Path);
    FileInfo[] listaDeArchivos = X.GetFiles();
    string[] Coleccion = new string[listaDeArchivos.Length];
    int i = 0;

    foreach (FileInfo FI in listaDeArchivos)
    {
        Coleccion[i++] = FI.Name;
        //Add the FI.Name to the Coleccion[] array, 
    }

    return Coleccion;
}

Я бы не использовал массив в этом случае. Вместо этого я бы использовал StringCollection.

using System.Collections.Specialized;

private StringCollection ColeccionDeCortes(string Path)   
{

    DirectoryInfo X = new DirectoryInfo(Path);

    FileInfo[] listaDeArchivos = X.GetFiles();
    StringCollection Coleccion = new StringCollection();

    foreach (FileInfo FI in listaDeArchivos)
    {
        Coleccion.Add( FI.Name );
    }
    return Coleccion;
}

string[] coleccion = Directory.GetFiles(inputPath)
    .Select(x => new FileInfo(x).Name)
    .ToArray();

Кроме того, вы можете изменить размер массива.

Array.Resize(ref array, array.Length + 1);
array[array.Length - 1] = "new string";