$ .ajax ({асинхронный: ложь}), запрос все еще стреляет асинхронно?

Вам понадобится async: false , а не async: "false" . (т.е. передать логическое false , а не строку «false» ).

Изменить: также с асинхронными запросами вам необходимо вернуть значение после вызова ajax , не внутри вашего обработчика успеха:

function isLoggedIn() {
    var isLoggedIn;
    $.ajax({
        async: false,
        // ...
        success: function(jsonData) {
            isLoggedIn = jsonData.LoggedIn
        }
    });
    return isLoggedIn 
}