Как отобразить точку на деформированную сетку

Я понял, что у вас есть взаимно однозначное соответствие между развернутыми и развернутыми точками сетки. И я предполагаю, что деформация не настолько велика, чтобы у вас могли быть пересекающиеся линии сетки (как на изображении, которое вы показываете).

Стратегия в точности совпадает с тем, что предлагает Джейкоб: триангулируйте две сетки так, чтобы получилось однозначное соответствие. соответствия между треугольниками, найдите точку, которая будет отображена в триангуляции, а затем используйте барицентрические координаты в соответствующем треугольнике для вычисления нового местоположения точки.

Предварительный процесс

1. Сгенерируйте триангуляцию Делоне точек Обернутую сетку назовем WT .
2. Для каждого треугольника в WT добавьте треугольник между соответствующими вершинами развернутой сетки. Это дает триангуляцию UWT развернутых точек.

Отображение точки p в свернутую сетку

1. Найдите треугольник T (p1, p2, p3) в UWT , который содержит p .
2. Вычислите барицентрические координаты (b1, b2, b3) p в T (p1, p2, p3)
3. Пусть Tw (q1, q2, q3) будет треугольником в WT , соответствующим T (p1, p2, p3) . Новая позиция:
   b1 * q1 + b2 * q2 + b3 * q3 .

Замечания b3) из p в T (p1, p2, p3)

Замечания b3) из p в T (p1, p2, p3)

Замечания Это дает функцию деформации в виде линейного сплайна . Для более плавного поведения можно использовать ту же триангуляцию, но сделать приближение более высокого порядка, что приведет к немного более сложным вычислениям вместо барицентрических координат.

Многое зависит от того, сколько у вас очков. Если у вас есть только один, вы мало что можете с ним сделать - вы можете сместить вторую точку на ту же величину в том же направлении, но у вас недостаточно данных, чтобы добиться чего-то большего.

Если у вас достаточно много существующих точек, вы можете выполнить аппроксимацию поверхности через эти точки и использовать это для приблизительного определения правильного положения новой точки. Учитывая N точек, вы всегда можете получить идеальное совпадение, используя полином порядка N, но вы редко хотите это делать - вместо этого вы обычно предполагаете, что функция растяжения является функцией довольно низкого порядка (например, квадратичной или кубической) и подходит поверхность к точкам на этой основе. Затем вы размещаете новую точку в зависимости от функции вашей подогнанной поверхности.

Другие ответы великолепны. Единственное, что я бы добавил, это то, что вы, возможно, захотите взглянуть на Деформацию произвольной формы как способ описания деформаций.

Если это полезно, то вполне возможно приспособить деформационную сетку / решетку к вашим известным парам, и тогда у вас будет очень быстрый метод деформации будущих точек.