“Система. Сеть. HttpContext не может быть сериализирован, потому что он не имеет конструктора без параметров”.

Вы не сможете сериализовать HttpContext. Лучше всего будет создать собственный класс для инкапсуляции информации, которую вы хотите получить из HttpContext, и передать ее в ваш WebMethod.

Вам нужно будет создать сериализуемый класс, предназначенный для хранения той информации, которую вы хотите собрать. Затем создайте статический метод для этого класса, который создаст новый экземпляр класса и соберет необходимую информацию.

Это будет этот новый класс, который будет передан в LogError.