Не может неявно преобразовать тип 'Система. Linq. IQueryable' к 'Системе. Наборы. Универсальный. IList'

Вы можете заменить IList resultV на var resultV .

Попробуйте это ->

 new DzieckoAndOpiekun(
                         p.Imie,
                         p.Nazwisko,
                         p.Opiekun.Imie,
                         p.Opiekun.Nazwisko).ToList()

Вы можете использовать метод .ToList() для преобразования возвращаемого результата IQueryable в IList, как показано ниже, после выполнения запроса linq.

   public DzieckoAndOpiekunCollection GetChildAndOpiekunByFirstnameLastname(string firstname, string lastname)
{
    DataTransfer.ChargeInSchoolEntities db = new DataTransfer.ChargeInSchoolEntities();
    DzieckoAndOpiekunCollection result = new DzieckoAndOpiekunCollection();
    if (firstname == null && lastname != null)
    {
        IList<DzieckoAndOpiekun> resultV = from p in db.Dziecko
                      where lastname == p.Nazwisko
                      **select** new DzieckoAndOpiekun(
                     p.Imie,
                     p.Nazwisko,
                     p.Opiekun.Imie,
                     p.Opiekun.Nazwisko).ToList()
                  ;
        result.AddRange(resultV);
    }
    return result;
}