Какую структуру данных с помощью O (n) устройство хранения данных с O (регистрируют n) время запроса я должен использовать для Запросов Минимума Диапазона?

Рассматривали ли вы дерево интервалов?

Глядя на статью в Википедии, кажется, что она полностью соответствует тому, что вы просите. http://en.wikipedia.org/wiki/Interval_tree

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Да, похоже, что деревья интервалов не подходят для этого сценария ...

Если бы набор был отсортирован, вам не понадобится дерево. Наименьший элемент в диапазоне [i, j] будет иметь индекс i.

Итак, предположим, что элементы вашей последовательности были сохранены в порядке их индексов на листьях дерева.Можете ли вы сохранить какую-либо дополнительную информацию ( кхм , возможно, какие-то минимальные и максимальные значения) на каждом внутреннем узле, чтобы облегчить ваш запрос?

Если да, то если дерево сбалансировано, и если вы можете ответить ваш запрос, глядя только на два пути от корня к двум элементам в {i, j}, тогда вы достигнете своей стоимости поиска O (log N). Поскольку сбалансированное двоичное дерево с N листьями содержит всего (2N-1) узлов, вы также будете удовлетворять своему пределу хранения O (N).

ПОДРОБНЕЕ: рассмотрите возможность вычисления минимального значения в диапазоне [i, j].

В каждом внутреннем узле A дерева сохраните минимальное значение для всех нижележащих листьев. Это можно вычислить снизу вверх при первом построении дерева.

Теперь начнем с листа i. Поднимитесь по дереву, сохраняя в качестве минимального значения кандидата значение в i или что-нибудь, что, как известно, находится справа от i и слева от j. Остановите один узел ниже общего предка i и j.

Начать снова с листа j. Поднимитесь по дереву, снова сохраняя в качестве минимума кандидата значение j или что-нибудь, что, как известно, находится как слева от j, так и справа от i.

Тогда ваш минимум для [i, j] будет минимальным из двух вычисленных вами значений. Вычисление максимума аналогично. Общие требования к хранилищу составляют 2 значения на внутренний узел плюс два указателя на внутренний узел плюс одно значение на лист, что составляет N + 4 (N-1) для полного дерева.

Путь, который вы путешествуете вверх по дереву от листа i, - это тот же путь, который вы прошли бы вниз дерево, если бы искали лист i.

КОД C # ДЛЯ ПОИСКА:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace RangeSearch
{
    public class RangeSearch
    {
        int[] tree;
        int N;

        int LeafLocation(int leafNumber) { return leafNumber + N - 1; }
        int LeafValue(int leafNumber) { return tree[ LeafLocation(leafNumber)]; }
        int LeftChild(int x) { return 2*x + 1; }
        int RightChild(int x) { return 2*x + 2; }
        int Parent(int x) { return (x-1)/2; }
        bool IsPowerOf2(int x) { while (x > 0) { if (x == 1) return true; if ((x & 1) == 1 ) return false; x = x >> 1; } return false; }
        bool IsAncestorOf( int x, int y ) { if( x>y ) return false;  return x==y || IsAncestorOf(LeftChild(x), y) || IsAncestorOf(RightChild(x),y); } // note: violating time bound for legibility, can fix by storing min/max descendant index at each node

        public RangeSearch(params int[] vals)
        {
            if (!IsPowerOf2(vals.Length))
                throw new ArgumentException("this implementation restricted to N being power of 2");
            N = vals.Length;
            tree = new int[2 * N - 1];
            // the right half of the array contains the leaves
            vals.CopyTo(tree, N - 1);
            // the left half of the array contains the interior nodes, each of which holds the minimum of all its children
            for (int i = N - 2; i >= 0; i--)
                tree[i] = Math.Min(tree[LeftChild(i)], tree[RightChild(i)]);           
        }

        public int FindMin(int a, int b)
        {
            if( a>b )
                throw new ArgumentException( "FindMin expects a range [a,b] with a<=b" );
            int x = Walk( a, true, b);
            int y = Walk( b, false, a);
            return Math.Min(x, y);
        }

        int Walk( int leafNumber, bool leftSide, int otherLeafNumber )
        {
            int minSoFar =  LeafValue(leafNumber);
            int leafLocation = LeafLocation(leafNumber);
            int otherLeafLocation = LeafLocation(otherLeafNumber);
            int parent = Parent(leafLocation);
            bool cameFromLeft = (leafLocation == LeftChild(parent));
            return Walk2(minSoFar, parent, cameFromLeft, leftSide, otherLeafLocation);
        }
        int Walk2(int minSoFar, int node, bool cameFromLeft, bool leftSide, int otherLeafLocation)
        {
            if (IsAncestorOf(node, otherLeafLocation))
                return minSoFar;
            if (leftSide)
                minSoFar = !cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[RightChild(node)]);
            else
                minSoFar = cameFromLeft ? minSoFar : Math.Min(minSoFar, tree[LeftChild(node)]);
            return Walk2(minSoFar, Parent(node), node == LeftChild(Parent(node)), leftSide, otherLeafLocation);
        }
    }
}

КОД C # ДЛЯ ТЕСТИРОВАНИЯ:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace RangeSearch
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            RangeSearch rngA = new RangeSearch(9, 3, 7, 1);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngA.FindMin(0, 2) );
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(0, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngA.FindMin(1, 3));

            RangeSearch rngB = new RangeSearch(1, 7, 3, 9);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(3 == rngB.FindMin(1, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 3));
            System.Diagnostics.Trace.Assert(1 == rngB.FindMin(0, 2));

            RangeSearch rngC = new RangeSearch(17, 21, 77, 70, 58, 79, 79, 89);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(21 == rngC.FindMin(1, 7));

            RangeSearch rngD = new RangeSearch(94, 78, 88, 72, 95, 97, 89, 83);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(72 == rngD.FindMin(1, 6));

            RangeSearch rngE = new RangeSearch(0, 66, 6, 43, 34, 34, 63, 49);
            System.Diagnostics.Trace.Assert(34 == rngE.FindMin(3, 4));

            Random rnd = new Random();
            for (int i = 0; i < 1000000; i++)
            {
                int[] tmp = new int[64];
                for (int j = 0; j < tmp.Length; j++)
                    tmp[j] = rnd.Next(0, 100);
                int a = rnd.Next(0, tmp.Length);
                int b = rnd.Next(a, tmp.Length);
                RangeSearch rng = new RangeSearch(tmp);
                System.Diagnostics.Trace.Assert(Min(tmp, a, b) == rng.FindMin(a, b));
            }
        }

        static int Min(int[] ar, int a, int b)
        {
            int x = ar[a];
            for (int i = a + 1; i <= b; i++)
                x = Math.Min(x, ar[i]);
            return x;
        }

    }
}

Определение последовательности - это упорядоченное множество (не отсортированное).

Знание того, что множество является упорядоченным, позволяет использовать декартово дерево, которое является идеальной структурой данных для минимальных запросов диапазона.