Дочерний к родительскому классу Object Reference не установлен на экземпляр Object C #

Из исходного вопроса не совсем ясно, где выбрасывается исключение, но выглядит очень странно, что вы повторяете несколько строк из firstButtonClicked в производном (дочернем) классе, а затем вызываете метод в базе (родительский) класс.

Когда вы следуете по пути кода, например, ImagesClick увеличивается вдвое (один раз в производном классе, а затем один раз в родительском классе, то же самое происходит с buttonClicked() и моим предположением (потому что я не знаю, реализация) состоит в том, что кнопка становится неактивной, потому что buttonClicked() вызывается дважды.

Одним из преимуществ наследования является то, что вам не нужно повторять общий код. Ваш метод производного класса firstButtonClicked может работать с просто:

public override void firstButtonClicked()
{   
    finalAnswer += "f";
    TryInheritance =finalAnswer;
    base.firstButtonClicked();
}