Square API - обновление объекта для нескольких местоположений

https://restcountries.eu/rest/v1/name/{countryName} вернет результат Array. Поэтому вы должны использовать Array.map для вывода объектов:

<section class="results">
    <div class="country-info">
        <ul id="countries">
            {this.state.country.map(country => <li>{country .name}</li>)}
        </ul>
    </div>
</section>