Как отправить данные, которых нет в текстовом поле, через сообщение в PHP

Вы должны использовать обработчик catch везде, где вы вызываете api с обещанием, потому что вы не делаете этого, когда api не сработает, и вам придется обработать ошибку.

export function registerUser(data){
  return axios({
    method: 'post',
    url: `${REGISTER}${API_KEY}`,
    data: {
        email: data.email,
        password: data.password,
    },
    headers: {
       'Content-Type': 'application/json'
    }})
    .then(function (response) {
        //handle success
        return {
            type: "REGISTER_USER",
            payload: response.data,
        }
    })
    .catch(function (err) {
        //handle error
        return {
            type: "REGISTER_USER_FAILED",
            payload: null
        }
    });
}

Вызвать функцию например

const data = {
    email: 'asd@asd.asd',
    password: 123
}
registerUser(data).then((response)=>{
  console.log(response)
})