Какой HTTP-глагол мне следует использовать для отправки данных в API и получения ответа?

Я бы просто использовал POST для этой операции. Не думайте о том, какие глаголы соответствуют каким видам операций в смысле RESTful. Традиционно POST должны создавать объект - но в этой ситуации применяется Razor от Occam - как правило, самое простое решение - правильное.

Если вы хотите использовать GET, выполните рефакторинг вашего запроса, чтобы поместить параметры в URI. Тело полезной нагрузки в запросе GET не является стандартным.

Кроме того, просим ознакомиться с этой статьей SO: Как разработать RESTful-поиск / фильтрацию?

Этот вопрос в значительной степени является религиозным / основанным на мнении обсуждением. Ссылка SO, указанная выше, обозначает сам поиск как ресурс, а также правильно указывает, что простое использование только POST не обязательно требует, чтобы что-то было создано в базе данных где-либо.

Нет однозначного ответа на основанный на мнении вопрос. Я буду использовать строку запроса для отправки параметров JSON через HTTP Get.