Есть ли способ отправить данные как объект вместо параметра в Alamofire?

Я думаю, вы пытаетесь отобразить список данных, но я не уверен, действительно ли вам нужен стиль карты, потому что у ваших карт нет разрыва. Для вашего дизайна вы можете использовать List Tile, которые имеют leading для кругового изображения или аватара, title, subtitle и trailing в случае необходимости. вот пример

return new Card(
  child: ListTile(        
    leading: CircleAvatar(
          backgroundColor: Colors.grey,
          backgroundImage: new NetworkImage("${document['Picture']}"),
          radius: 40.0,
        ),
    title: Text(document['name']),
    subtitle: Text('subtitle'),              
    ),
);

без карты

return ListTile(        
    leading: CircleAvatar(
          backgroundColor: Colors.grey,
          backgroundImage: new NetworkImage("${document['Picture']}"),
          radius: 40.0,
        ),
    title: Text(document['name']),
    subtitle: Text('subtitle'),              
);