В LINQ to Entities поддерживаются только конструкторы и инициализаторы без параметров

да, попробуйте вот так....

var naleznosci = (from nalTmp in db.Naleznosci
                              where nalTmp.idDziecko == idDziec
                              select new Payments()
                              {
                                  Dziecko.Imie,
                                  Dziecko.Nazwisko,
                                  Miesiace.Nazwa,
                                  Kwota,
                                  RodzajeOplat.NazwaRodzajuOplaty,
                                  RodzajeOplat.TypyOplat.NazwaTypuOplaty,
                                  DataRozliczenia,
                                  TerminPlatnosci
                              }).ToList();

это обновит ваш объект Payment с помощью конструктора без параметров, а затем инициализирует свойства, перечисленные внутри фигурных скобок { }

Можно попробовать сделать то же самое, но методами расширения. Какой провайдер использует базу данных?

var naleznosci = db.Naleznosci
                          .Where<TSource>(nalTmp => nalTmp.idDziecko == idDziec)
                          .Select<TSource, TResult>(
                             delegate(TSource nalTmp) { return new Payments
                             (
                                 nalTmp.Dziecko.Imie,
                                 nalTmp.Dziecko.Nazwisko,
                                 nalTmp.Miesiace.Nazwa,
                                 nalTmp.Kwota,
                                 nalTmp.RodzajeOplat.NazwaRodzajuOplaty,
                                 nalTmp.RodzajeOplat.TypyOplat.NazwaTypuOplaty,
                                 nalTmp.DataRozliczenia,
                                 nalTmp.TerminPlatnosci
                             ); })
                          .ToList();