Как мне обновить виджет BuildList, чтобы он оставался с состоянием во флаттере с отслеживаемым контекстом из FireStore

Хотя реакция не позволяет визуализировать объект. вы можете создать функцию, параллельную рендерингу и передать объект, и визуализировать в этой функции; что-то вроде ниже.

_render(obj){
   return <code>{obj}</code> //here also jsx syntax are valid.
}

render() {
        return (
            <div>
                <form onSubmit={this.handleSubmit}>
                    <label>
                        Pokemon's id
                        <input type="text" value={this.state.input_id} onChange={this.handleChange} />
                    </label>
                    <input type="submit" value="Find!"/>
                </form>
                {this._render(this.state.pokemon)}
            </div>
        );
    } // render