Как сделать так, чтобы родительский узел не мог быть выбран в виде дерева?

Во-первых, добавив props: true к вашему объекту маршрута, вы можете передать параметры маршрута в качестве реквизита вашего компонента PhysicianProfile

    {
        path: '/physicians/profile/:firstName-:lastName-:designation',
        name: 'pd-profile',
        component: PhysicianProfile,
        props: true
    },

. Затем вы можете добавить эти три реквизита к своему компоненту PhysicianProfile, и установите геттер Vuex для извлечения врача:

getters: {
  // ...
  getPhysicianByDetails: (state) => (firstName, lastName, designation) => {
    return state.physicians.find(phys => phys.firstName === firstName && phys.lastName === lastName && phys.designation === designation)
  }
}

Проверьте их для дальнейшего чтения

https://medium.com/vue-by-example / learn-fast-pass-params-as-props-with-vue-router-f4905735b747

https://vuex.vuejs.org/guide/getters.html