Математика: Осторожно введите, ослабьте смещение с помощью кривой Hermite с ограничением времени
Я пытаюсь записать метод, который интерполирует от 0 до x (положение объекта в одном размере) со временем использование ускорения вначале, и замедление в конце (ослабьте / осторожно вводят) с единственными ограничениями, которые общее время обеспечивается, а также продолжительность ускорения и замедления. движение должно копировать эффект инерции, и я рассматриваю кривую Hermite для нелинейных частей.
double Interpolate(
double timeToAccel, double timeCruising, double timeToDecel,
double finalPosition,
double currentTime)
{
//...
}
Кто-то может указать на меня части кода, который делает это? Я не знаю, как интегрировать кривую Hermite, следовательно не знайте, сколько я перемещу в ускоряющуюся часть или в замедляющуюся часть, и в свою очередь я не могу выяснить то, что будет скоростью в линейной части.
Спасибо.
Некоторая ссылка для иллюстрирования моего вопроса.
Править:
- запустите и закончитесь, скорости являются пустыми, и текущее время является также частью параметров в методе, я обновил подпись.
- в основном идея состоит в том, чтобы вообразить перемещение в постоянной скорости на расстоянии d, это дает общую продолжительность. Затем мы добавляем ускорение и фазы замедления при поддержании той же продолжительности, следовательно у нас есть неизвестная новая скорость круиза к определенному (потому что мы перемещаемся меньше в фазы Hermite, чем в линейных фазах, которые они заменили). Возможно, объем перемещения, потерянного в фазах Hermite, по сравнению с линейным перемещением той же продолжительности, является отношением между вершиной и нижней областью в кривых, просто идея от не опытный.
Править: Римлянин и Bob10 предоставили полные рабочие решения. Я реализовал код от римлянина. Благодаря Вам обоим, парням! Я ценю Вашу идеальную поддержку и Ваши подробные решения, Вы сохранили меня, долго ищет и испытывает.
2 ответа
Сначала создадим кубическую сплайн-функцию Эрмита:
/*
t - in interval <0..1>
p0 - Start position
p1 - End position
m0 - Start tangent
m1 - End tangent
*/
double CubicHermite(double t, double p0, double p1, double m0, double m1) {
t2 = t*t;
t3 = t2*t;
return (2*t3 - 3*t2 + 1)*p0 + (t3-2*t2+t)*m0 + (-2*t3+3*t2)*p1 + (t3-t2)*m1;
}
Теперь ваша задача - вычислить p0, p1, m0 и m1 для порций easy-in и ease-out. Давайте добавим несколько переменных, чтобы облегчить математику:
double Interpolate(
double timeToAccel, double timeCruising, double timeToDecel,
double finalPosition,
double currentTime) {
double t1 = timeToAccel;
double t2 = timeCruising;
double t3 = timeToDecel;
double x = finalPosition;
double t = currentTime;
Нам нужно указать, где должен находиться объект, когда он перестает ускоряться и начинает замедляться. Вы можете задать их как угодно и получить плавное движение, однако мы хотели бы получить несколько "естественное" решение.
Предположим, что крейсерская скорость равна v. Во время движения объект проходит расстояние x2 = v * t2. Теперь, когда объект ускоряется от 0 до скорости v, он проходит расстояние x1 = v * t1 / 2. То же самое для замедления x3 = v * t3 / 2. Сложим все вместе:
x1 + x2 + x3 = x
v * t1 / 2 + v * t2 + v * t3 / 2 = x
Из этого мы можем вычислить нашу скорость и расстояния:
double v = x / (t1/2 + t2 + t3/2);
double x1 = v * t1 / 2;
double x2 = v * t2;
double x3 = v * t3 / 2;
И теперь, когда мы знаем все, мы просто вводим это в наш кубический интерполятор эрмитового сплайна
if(t <= t1) {
// Acceleration
return CubicHermite(t/t1, 0, x1, 0, v*t1);
} else if(t <= t1+t2) {
// Cruising
return x1 + x2 * (t-t1) / t2;
} else {
// Deceleration
return CubicHermite((t-t1-t2)/t3, x1+x2, x, v*t3, 0);
}
}
Я протестировал это в Excel, вот эквивалентный код VBA для игры. Есть некоторые деления на ноль для граничных условий, я оставляю исправление этого как упражнение для читателя
Public Function CubicHermite(t As Double, p0 As Double, p1 As Double, _
m0 As Double, m1 As Double) As Double
t2 = t * t
t3 = t2 * t
CubicHermite = (2 * t3 - 3 * t2 + 1) * p0 + _
(t3 - 2 * t2 + t) * m0 + (-2 * t3 + 3 * t2) * p1 + (t3 - t2) * m1
End Function
Public Function Interpolate(t1 As Double, t2 As Double, t3 As Double, _
x As Double, t As Double) As Double
Dim x1 As Double, x2 As Double, x3 As Double
v = x / (t1 / 2 + t2 + t3 / 2)
x1 = v * t1 / 2
x2 = v * t2
x3 = v * t3 / 2
If (t <= t1) Then
Interpolate = CubicHermite(t / t1, 0, x1, 0, v*t1)
ElseIf t <= t1 + t2 Then
Interpolate = x1 + x2 * (t - t1) / t2
Else
Interpolate = CubicHermite((t-t1-t2)/t3, x1+x2, x, v*t3, 0)
End If
End Function
Это просто, используя обычное постоянное ускорение. Тогда возникает вопрос, до какой скорости (v) вам нужно разогнаться, чтобы завершить поездку за нужное время, и это подскажет вам, какое ускорение вам нужно, чтобы достичь этой скорости.
Если общее время равно t_t, а время ускорения равно t_a, тогда у вас есть пройденное расстояние как две части, ускоряющая и замедляющая, и часть постоянной скорости:
x = 2*(a*t_a*t_a/2) + v*(t_t-2*t_a)
Это можно решить для ускорения, добавив в v = a * t_a, чтобы найти
a = x/(t_a*(t_t - t_a))
Вот код Python, который использует и отображает результат этих уравнений, который показывает, как использовать уравнения, и как выглядит результат:
from pylab import *
t_a, t_t, D = 3., 10., 1. # input values
a = D/(t_a*(t_t - t_a))
segments = (t_a, a), (t_t-2*t_a, 0.), (t_a, -a) # durations and accelerations for each segment
t0, x0, v0 = 0.0, 0.0, 0.0 #initial values for the segment
tdata, xdata = [], []
for t_segment, a in segments: # loop over the three segments
times = arange(0, t_segment, .01)
x = x0 + v0*times + .5*a*times*times
xdata.append(x)
tdata.append(times+t0)
x0 = x[-1] # the last x calculated in the segment above
v0 += a*t_segment
t0 += t_segment
plot(tdata[0], xdata[0], 'r', tdata[1], xdata[1], 'r', tdata[2], xdata[2], 'r')
xlabel("time")
ylabel("position")
show()
