Как изобразить 0,1 в арифметике с плавающей запятой и десятичной
Я пытаюсь лучше понять арифметику с плавающей запятой и видел несколько ссылок на «Что должен знать каждый компьютерный специалист об арифметике с плавающей запятой».
Я до сих пор не понимаю, как число типа 0,1 или 0,5 хранится в числах с плавающей запятой и в десятичных числах.
Может кто-нибудь объяснить, как устроена память?
Я знаю, что число с плавающей запятой равно двум части (т. е. число в степени чего-либо).
2 ответа
Я всегда указывал людям на онлайн-конвертер Харальда Шмидта , а также на статью Wikipedia IEEE754-1985 с красивыми картинками.
Для этих двух конкретных значений вы получите (для 0,1):
s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 1/n
0 01111011 10011001100110011001101
| || || || || || +- 8388608
| || || || || |+--- 2097152
| || || || || +---- 1048576
| || || || |+------- 131072
| || || || +-------- 65536
| || || |+----------- 8192
| || || +------------ 4096
| || |+--------------- 512
| || +---------------- 256
| |+------------------- 32
| +-------------------- 16
+----------------------- 2
Знак положительный, это довольно просто.
Показатель степени 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123–127 смещение = -4 , поэтому множитель равен 2 -4 или 1/16 .
Мантисса коренастая. Он состоит из 1 (неявное основание) плюс (для всех этих битов, каждый из которых имеет значение 1 / (2 n ) как n ] начинается с 1 и увеличивается вправо), {1/2, 1/16, 1/32, 1/256, 1/512, 1/4096, 1/8192, 1 / 65536, 1/131072, 1/1048576, 1/2097152, 1/8388608} .
Сложив все это, вы получите 1,60000002384185791015625 .
Когда вы умножаете это на множитель, вы получаете 0,100000001490116119384765625 , поэтому они говорят, что вы не можете представить 0,1 в точности как число с плавающей запятой IEEE754, и предоставляет так много возможностей для SO для люди, отвечающие на «почему не 0,1 + 0,1 + 0,1 == 0,3?» вопросы типа: -)
Пример 0,5 существенно проще.Он представлен как:
s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
0 01111110 00000000000000000000000
, что означает, что это неявное основание, 1 , плюс никаких других добавок (все биты мантиссы равны нулю).
Знак снова положительный. Показатель степени 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 126–127 смещение = -1 . Следовательно, множитель равен 2 -1 , что составляет 1/2 или 0,5 .
Таким образом, окончательное значение равно 1 , умноженному на 0,5 или 0,5 . Вуаля!
Иногда мне было легче думать об этом в десятичных терминах.
Число 1,345 эквивалентно
1 + 3/10 + 4/100 + 5/1000
или:
-1 -2 -3
1 + 3*10 + 4*10 + 5*10
Аналогично, представление IEEE754 для десятичного числа 0,8125 :
s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
0 01111110 10100000000000000000000
С неявным основанием 1, что эквивалентно двоичному:
01111110-01111111
1.101 * 2
или:
-1
(1 + 1/2 + 1/8) * 2 (no 1/4 since that bit is 0)
, который становится:
(8/8 + 4/8 + 1/8) * 1/2
и , тогда становится:
13/8 * 1/2 = 0.8125
См. запись в Википедии и группу IEEE, во-первых.
В основном, есть знак, число и экспонента. Число в одном основании не может быть представлено конечным образом в другом основании, если исходное основание имеет коэффициенты, отсутствующие в конечном основании. Например, 1/3 не может быть представлена в виде конечного десятичного числа, но тривиально может быть представлена в виде троичного числа (основание 3): (0.1)3.
Таким образом, 0,5 имеет конечное двоичное представление, (0,1)2, то есть 2-1, но 0,1 имеет повторяющееся представление, потому что 2 и 10 не имеют общего множителя (5).