Быстрый (er) алгоритм определения длины самой длинной общей подпоследовательности (LCS)

Проблема: нужна длина LCS между двумя строками. Размер строк не превышает 100 символов. Алфавит - обычный ДНК, 4 символа «ACGT». Динамический подход не является достаточно быстрым.

Моя проблема в том, что я имею дело с партиями и парами (насколько я могу судить, на уровне сотен миллионов). Я считаю, что уменьшил вызов функции LCS_length до минимально возможного, поэтому единственный способ ускорить работу моей программы - это использовать более эффективную функцию LCS_Length.

Я начал с реализации обычного подхода динамического программирования. Это дает правильный ответ и, надеюсь, реализовано правильно.

#define arrayLengthMacro(a) strlen(a) + 1
#define MAX_STRING 101

static int MaxLength(int lengthA, int lengthB);

/* 
 * Then the two strings are compared following a dynamic computing
 * LCS table algorithm. Since we only require the length of the LCS 
 * we can get this rather easily.
 */
int LCS_Length(char *a, char *b)
{
    int lengthA = arrayLengthMacro(a),lengthB = arrayLengthMacro(b), 
        LCS = 0, i, j, maxLength, board[MAX_STRING][MAX_STRING];

        maxLength = MaxLength(lengthA, lengthB);

    //printf("%d %d\n", lengthA, lengthB);
    for (i = 0; i < maxLength - 1; i++)
    {
        board[i][0] = 0;
        board[0][i] = 0;
    }

    for (i = 1; i < lengthA; i++)
    {
        for (j = 1; j < lengthB; j++)
        {
/* If a match is found we allocate the number in (i-1, j-1) incremented  
 * by 1 to the (i, j) position
 */
            if (a[i - 1] == b[j - 1])
            {

                board[i][j] = board[i-1][j-1] + 1;
                if(LCS < board[i][j])
                {
                    LCS++;
                }
            }
            else
            {
                if (board[i-1][j] > board[i][j-1])
                {
                    board[i][j] = board[i-1][j];
                }
                else
                {
                    board[i][j] = board[i][j-1];
                }
            }
        }
    }

    return LCS;
}

Это должно быть O (mn) (надеюсь).

Затем в поисках скорости я нашел этот пост Самая длинная общая подпоследовательность Это дало O (ND) статью Майерса. Я пробовал это, которое связывает LCS с самым коротким скриптом редактирования (SES). Они дают соотношение D = M + N - 2L, где D - длина SES, M и N - длины двух строк, а L - длина LCS. Но в моей реализации это не всегда правильно. Приведу свою реализацию (которая считаю правильной):

#include 
#include 
#include 

#define arrayLengthMacro(a) strlen(a)

int LCS_Length (char *a, char *b);
int MinLength (int A, int B);
int Max (int A, int B);
int snake(int k, int max, char *a, char *b, int lengthA, int lengthB);

int main(void)
{
    int L;
    char a[] = "tomato", b[] = "potato"; //must give LCS = 4
    L =  LCS_Length(a, b);
    printf("LCS: %d\n", L );    
    char c[] = "GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA", d[] = "ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA"; // must give LCS = 20
    L =  LCS_Length(c, d);
    printf("LCS: %d\n", L );
    char e[] = "human", f[] = "chimpanzee"; // must give LCS = 4
    L =  LCS_Length(e, f);
    printf("LCS: %d\n", L );
    char g[] = "howareyou", h[] = "whoareyou"; // LCS =8
    L =  LCS_Length(g, h);
    printf("LCS: %d\n", L );
    char i[] = "TTCTTTCGGTAACGCCTACTTTATGAAGAGGTTACATTGCAATCGGGTAAATTAACCAACAAGTAATGGTAGTTCCTAGTAGAGAAACCCTCCCGCTCAC", 
        j[] = "GCACGCGCCTGTTGCTACGCTCTGTCCATCCTTTGTGTGCCGGGTACTCAGACCGGTAACTCGAGTTGCTATCGCGGTTATCAGGATCATTTACGGACTC"; // 61
    L =  LCS_Length(i, j);
    printf("LCS: %d\n", L );


    return 0;
}

int LCS_Length(char *a, char *b)
{

    int D, lengthA = arrayLengthMacro(a), lengthB = arrayLengthMacro(b), 
        max, *V_, *V, i, k, x, y;

    max = lengthA + lengthB;
    V_ = malloc(sizeof(int) * (max+1));
    if(V_ == NULL)
    {
        fprintf(stderr, "Failed to allocate memory for LCS");
        exit(1);
    }
    V = V_ + lengthA;
    V[1] = 0;

    for (D = 0; D < max; D++)
    {
        for (k = -D; k <= D; k = k + 2)
        {
            if ((k == -D && V[k-1] < V[k+1]) || (k != D && V[k-1] < V[k+1]))
            {
                x = V[k+1];
            }
            else
            {
                x = V[k-1] + 1;
            }
            y = x - k;
            while ((x < lengthB) && (y < lengthA) && (a[x+1] == b[y+1]))
            {
                x++;
                y++;
            }
            V[k] = x;
            if ((x >= lengthB) && (y >= lengthA))
            {
                return (lengthA + lengthB - D)/2;
            }
        }
    }
    return  (lengthA + lengthB - D)/2;
}

В основном есть примеры. Например. "помидор" и "картофель" (не комментируйте), имеют длину LCS 4. Реализация обнаруживает, что это 5 раз, когда SES (D в коде) получается как 2 вместо 4, как я ожидал (удалить «t», вставить «p», удалить «m», вставить «t»). Я склонен думать, что, возможно, алгоритм O (ND) также считает подстановки, но я не уверен в этом.

Приветствуется любой подход, который реализуем (у меня нет огромных навыков программирования). (Если бы кто-то знал, например, как воспользоваться преимуществом маленького алфавита.)

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я думаю, было бы полезно сказать, помимо всего прочего, что я использую функцию LCS между ЛЮБЫМИ двумя строками в ЛЮБОЕ время. Так что это не только строка, скажем s1, по сравнению с несколькими миллионами других. Это может быть s200 с s1000, затем s0 с s10000, а затем 250 с s100000. Также вряд ли удастся отследить наиболее часто используемые строки. Я требую, чтобы длина LCS НЕ была приближением, поскольку я реализую алгоритм приближения и не хочу добавлять дополнительную ошибку.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Просто запустил callgrind. Для ввода 10000 строк я, кажется, вызываю функцию lcs около 50 000 000 раз для разных пар строк. (10000 строк - это наименьшее значение, которое я хочу запустить, а максимальное - 1 миллион (если это возможно)).