Не могу найти нужную энергию, используя scipy.signal.welch

Для данного дискретного сигнала времени x(t) с интервалом dt (который равен 1/fs, fs - частота дискретизации), энергия равна:

E[x(t)] = sum(abs(x)**2.0)/fs

Тогда I сделать ДПФ из x(t):

x_tf = np.fft.fftshift( np.fft.fft( x ) ) / ( fs * ( 2.0 * np.pi ) ** 0.5 )

и снова вычислить энергию:

E[x_tf] = sum( abs( x_tf ) ** 2.0 ) * fs * 2 * np.pi / N

(здесь коэффициент fs*2*np.pi/N = расстояние между пульсациями dk, документация fftfreq дает более подробную информацию о разносе в частотной области), у меня та же энергия:

E[x(t)] = E[x_tf]

НО ... когда я вычисляю спектральную плотность мощности x(t) с использованием scipy.signal.welch, я могу ' найти правильную энергию. scipy.signal.welch возвращает вектор частот f и энергию Pxx (или энергию на частоту, в зависимости от того, какое scaling мы введем в аргументах scipy.signal.welch).

Как я могу найти ту же энергию, что и E[x(t)] или E[x_tf], используя Pxx? Я попытался вычислить:

E_psd = sum(Pxx_den) / nperseg

где nperseg - длина каждого сегмента алгоритма Уэлча, факторы как fs и np.sqrt(2*np.pi) отменены, и масштабирование E [x (t)] с nperseg, но безуспешно (на порядки меньше, чем E[x(t)])

Я использовал следующий код для генерации моего сигнала:

#Generate a test signal, a 2 Vrms sine wave at 1234 Hz, corrupted by 0.001 V**2/Hz of white noise sampled at 10 kHz.

fs = 10e3   #sampling rate, dt = 1/fs
N = 1e5
amp = 2*np.sqrt(2)
freq = 1234.0
noise_power = 0.001 * fs / 2
time = np.arange(N) / fs
x = amp*np.sin(2*np.pi*freq*time)
x += np.random.normal(scale=np.sqrt(noise_power), size=time.shape)

и сделал следующее для получить спектральную плотность мощности:

f, Pxx_den = signal.welch(x, fs )