Строковое преобразование объекта DOMWindow

По какой-то причине мне кажется, что я не могу использовать JSON.stringify для объекта DOMWindow. Например:

console.log(window.self); // Outputs a hierarchical DOMWindow object
console.log(JSON.stringify(window.self)); // Outputs nothing - not even an error

alert(window.self); // Alerts "[object DOMWindow]"
alert(JSON.stringify(window.self)); // Again nothing - not even an error

Проверено в Safari и Chrome. Есть ли у кого-нибудь идеи, как я могу этого добиться?

Правка :

Редактирование перенесено в новый вопрос, поскольку оно не совсем для него.