Найти ближайший # loading и показать его?

Когда вы вводите букву, устанавливается состояние ошибки cin, и до вызова cin.clear() не будет никакого дополнительного ввода. В результате инструкция cin >> num1 не изменит значение num1, и вы навсегда зацикливаетесь.

Попробуйте следующее:

    while (num1 < 0)
    {
        cout << "The number you entered is negative.\nPlease enter a positive number to continue.\n";
        cin.clear();
        cin >> num1;
    }

EDIT:

Благодаря Легкости для указания этого. Вы также должны инициализировать num1:

int num1=-1, num2, total;