Как обработать пользовательское событие нажатия кнопки для PrimeNG p-fullCalendar?

Привязать событие click к компонентному методу и привязать (this):

addAppointmentButton: {
    text: 'New appointment',
    click: this.click.bind(this)
}
// ...
click() {
    this.displayAddAppointment = !this.displayAddAppointment;
}

Протестировано и работает. Таким образом, вы не потеряете прицел.