Вычислите центроид 3D плоского полигона

Пусть точки будут равны v ₀ , v ₁ , ..., v _N против часовой стрелки, где v _i = (x _i , y _i , z _i ).

Затем тройки (v ₀ , v ₁ , v ₂ ), (v ₀ , v ₂ , v ₃ ), ..., (v ₀ , v _i , v _{i + 1} ), ..., (v ₀ , v _N-1 , v _N ) образует треугольники N-1, которые образуют многоугольник.

Площадь каждого треугольника составляет | (v _i - v ₀ ) × (v _{i + 1} - v ₀ ) | ÷ 2 , где × - векторное произведение, а | · | - длина вектора.

Возможно, вам придется сделать площадь отрицательной, чтобы компенсировать вогнутые части. Простая проверка - вычислить (v _i - v ₀ ) × (v _{i + 1} - v ₀ ) · (V ₁ - v ₀ ) × (v ₂ - v ₀ ) . Область должна иметь такой же знак, что и результат.

Поскольку соотношение площадей 2D-фигур при параллельной проекции является постоянным, вы можете выбрать единичный вектор (например, z), не параллельный плоскости, тракт (v _i - v ₀ ) × (v _{i + 1} - v ₀ ) · z как площадь. При этом вам не нужно извлекать дорогостоящий квадратный корень, и проверка знака выполняется автоматически.

Центроид каждого треугольника равен (v ₀ + v _i + v _{i + 1} ) ÷ 3 .

Следовательно, центр тяжести всего многоугольника, в предположении однородной плотности, равен

                1       N-1
centroid = ——————————    ∑  ( centroid-of-triangle-i × area-of-triangle-i )
           total-area   i=1

(Для размеров ≥ 4D площадь необходимо вычислить с помощью A _i = ½ | v _i −v ₀ | | v _{i + 1} −v ₀ | sin θ _i , где cos θ _i = (v _i −v ₀ ) · (v _{i + 1} −v ₀ ).)

Просто используйте уравнения, которые у вас есть дважды, но во второй раз поменяйте z на y.

То есть, вычислите центроиды двух проекций, одной на плоскость x-y, а другой на плоскость x-z. Центроиды проекций будут проекциями действительного центроида, поэтому ответом будут значения x, y и z, полученные в результате этих двух вычислений.

Выражаясь яснее: Если вашими точками являются (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), ... то для получения центроида x-y, (Cx, Cy), выполните вычисления, используя (x1, y1), (x2, y2), ..., а для получения центроида x-z, (Cx, Cz), используйте точки (x1, z1), (x2, z2),..... -- Просто сделайте второй расчет по той же формуле 2D, рассматривая значения z как y в уравнении. Тогда ваш 3D центроид будет (Cx, Cy, Cz). Это будет работать до тех пор, пока ваша поверхность плоская и не параллельна плоскостям x-y, x-z или y-z (но если она параллельна, то это просто 2D уравнение).