Почему я не могу изменить значок выпадающего меню?

Вы не можете использовать :: после выбора. У меня была такая же проблема, как и у вас. Лучший способ сделать это - использовать фоновое изображение CSS для настройки стрелки. Например:

select {
    background-color: white;
    background-image: url('../Images/Generic/arrowDownBlack.png');
    background-repeat: no-repeat;
    background-position: right 5px center;
    background-size: 20px 20px;
}

select::-ms-expand {
    display: none; //This gets rid of the arrow in IE.
}

Если вы используете векторное изображение, оно будет так же хорошо, как шрифт.

Чтобы доказать, что я прав, вы всегда можете попробовать добавить :: after к другому элементу. Он будет отображаться, но не с выбором.